专题7.04 直线、平面垂直的判定及性质（解析版）

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第七篇立体几何与空间向量

专题 7.04 直线、平面垂直的判定及性质

【考纲要求】

1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

【命题趋势】

线线、线面、面面垂直的判定与证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，

就说直线 l与平面 α互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内

的两条相交直线都垂

直，则该直线与此平面

垂直

⇒l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两

条直线平行

⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一个平面过另一个平

面的垂线，则这两个

平面垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一

个平面内垂直于交线

的直线与另一个平面

垂直

⇒l⊥α

[要求一平面只需过另一平面的垂线．]

【素养清单•常用结论】

直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

【真题体验】

1.【2019 年高考北京卷理数】已知 l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；② m∥ ；③ l⊥ ．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.

【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m，正确；

（2）如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α，不正确，有可能 m在平面 α内；

（3）如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α，不正确，有可能 l与α斜交、l∥α.

故答案为：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.

【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作

为条件、结论加以分析即可.

2.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E在棱 AA1上，

BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面 EB1C1；

（2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得，平面，平面，

故．又，所以平面．

（2）由（1）知．由题设知 ≌ ，所以，

故，．

以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，

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