专题7.3 直线、平面平行的判定及性质（解析版）

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第七篇立体几何与空间向量

专题 7.03 直线、平面平行的判定及性质

【考纲要求】

1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.

【命题趋势】

线线平行、线面平行、面面平行的判定与证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线

平行，则该直线与此平面平行(线线平

行⇒线面平行)

∵l∥a，a⊂α，

l⊄α，∴l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直

线的任一平面与此平面的交线与该直线

平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

∵l∥α，l⊂β，α∩

β＝b，∴l∥b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定理

一个平面内的两条相交

直线与另一个平面平

行，则这两个平面平行

(简记为“线面平行⇒面

面平行”)

∵a∥β，

b∥β，

a∩b＝

P，a⊂α，

b⊂α，

∴α∥β

性质定理

如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那

么它们的交线平行

∵α∥β，α∩

γ＝a，β∩γ＝

b，∴a∥b

【素养清单•常用结论】

平面与平面平行的三个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．

(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 α，β为两个平面，则 α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与 β平行 B．α内有两条相交直线与 β平行

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定

理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条

件，故选 B．

【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面

平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错

误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则 ”此类的错误．

2.【2018 年高考浙江卷】已知平面 α，直线 m，n满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得 .由不能得出与内任一直线

平行，所以是的充分不必要条件，故选 A.

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：

（1）定义法：直接判断“若则 ”、“若则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒”为真，则

是的充分条件．

（2）等价法：利用 ⇒与非 ⇒非，⇒与非 ⇒非，⇔与非 ⇔非的等价关系，对于条件或结论是否

定式的命题，一般运用等价法．

（3）集合法：若 ⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，

AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面 C1DE；

（2）求二面角 A−MA1−N 的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）连结 B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME=B1C．

又因为N为A1D的中点，

所以ND=A1D．

由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．

又MN 平面EDC1，

所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

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