专题7.2 空间点、直线、平面间的位置关系（解析版）

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第七篇立体几何与空间向量

专题 7.02 空间点、直线、平面间的位置关系

【考纲要求】

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.

【命题趋势】

空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．平面的基本性质

(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理 2的三个推论

推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．

推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

(5)公理 1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理 2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公

理3是证明三线共点或三点共线的依据．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

① 共面直线

② 异面直线：不同在任何一个平面内．

(2)异面直线所成的角

① 定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与b′所成的锐角(或直角)

叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角)．

② 范围：　　.

(3)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系

图形语言符号语言公共点

直

线

与

平

面

相交 a∩α＝A1个

平行 a∥α0个

在平

面内 a⊂α无数个

平

面

与

平

面

平行 α∥β0个

相交 α∩β＝l 无数个

【素养清单•常用结论】

1．公理 2的三个推论

推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．

推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

3．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 α，β为两个平面，则 α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与 β平行 B．α内有两条相交直线与 β平行

C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定

理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条

件，故选 B．

【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面

平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错

误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则 ”此类的错误．

2.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点 N为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面

ABCD，M是线段 ED 的中点，则

A．BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线

B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线

C．BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线

D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线

【答案】B

【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线，是相交

直线.

过作于，连接，

平面平面，平面，平面，平面，

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