专题7.1 空间几何体的结构特征、表面积、体积（原卷版）

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第七篇 立体几何与空间向量
专题 7.01 空间几何体的结构特征、表面积、体积
【考纲要求】
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的
立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法与中心投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形
式．
4.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式
【命题趋势】
空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图
及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体 结构特征
棱柱 有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 矩形一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线
圆台 直角梯形或
等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在的直线
球 半圆或圆 直径所在的直线
2.空间几何体的三视图和直观图
(1)三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
(2)三视图的画法
① 在画三视图时，重叠的线只画一条，可见的线要画成实线，不可见的线要画成虚线．
② 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
1
(3)空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
① 原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为 45°或 135°，z′轴与 x′轴和 y
′轴所在平面垂直．
② 原图形中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍然分别平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图
中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半．
3．空间几何体的表面积与体积
名称
几何体 表面积 体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S
表面积＝
S
侧＋2
S
底
V
＝
Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S
表面积＝
S
侧＋
S
底
V
＝　
Sh
　
台体
(棱台和圆台)
S
表面积＝
S
侧＋
S
上＋
S
下
V
＝(
S
上＋
S
下＋)
h
球
S
＝4π
R
2
V
＝　π
R
3　
4. (1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离
d
与球的半径
R
及截面的半径
r
的关系为
r
＝.
【素养清单•常用结论】
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形．
(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．
(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
【真题体验】
1.【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖
暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式
V
柱体=
Sh
，其中
S
是柱体的底面积，
h
是柱体的高．若某柱体
的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
2
A．158 B．162 C．182 D．324
2.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
挖去四棱锥
O
—
EFGH
后所得的几何体，其中
O
为长方体的中心，
E
，
F
，
G
，
H
分别为所
在棱的中点， ，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作
该模型所需原料的质量为___________g.
3.【2019 年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格
纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为__________．
4.【2019 年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底
面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______
_______．
3
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