专题7.1 空间几何体的结构特征、表面积、体积（解析版）

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第七篇立体几何与空间向量

专题 7.01 空间几何体的结构特征、表面积、体积

【考纲要求】

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的

立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

3．会用平行投影方法与中心投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形

式．

4.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式

【命题趋势】

空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图

及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体结构特征

棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

(2)旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形矩形一边所在的直线

圆锥直角三角形一直角边所在的直线

圆台直角梯形或

等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在的直线

球半圆或圆直径所在的直线

2.空间几何体的三视图和直观图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

① 在画三视图时，重叠的线只画一条，可见的线要画成实线，不可见的线要画成虚线．

② 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．

(3)空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

① 原图形中 x轴、

y轴、

z轴两两垂直，直观图中，x′轴、

y′轴的夹角为 45°或135°，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平

面垂直．

② 原图形中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍然分别平行于坐标轴；平行于 x轴和 z轴的线段在直观图

中保持原长度不变；平行于 y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

3．空间几何体的表面积与体积

名称

几何体表面积体积

柱体

(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh

锥体

(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底V＝　Sh　

台体

(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h

球S＝4πR2V＝　πR3　

4. (1)球的任何截面是圆面；

(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；

(3)球心到截面的距离 d与球的半径 R及截面的半径 r的关系为 r＝.

【素养清单•常用结论】

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形．

(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．

(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

【真题体验】

【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖

暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体

的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是

A．158 B．162 C．182 D．324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下

底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为

故选 B.

【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，

常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还

原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

2.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

挖去四棱锥 O—EFGH 后所得的几何体，其中 O为长方体的中心，E，F，G，H分别为

所在棱的中点，，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制

作该模型所需原料的质量为___________g.

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