专题07 坐标系与参数方程(解析版)

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专题 07 坐标系与参数方程
1.在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为
极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , , 求
的面积.
【解析】（Ⅰ）因为 ，
∴的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，
解得 =，=，|MN|= －=，
因为 的半径为 1，则 的面积 = .
2.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线
的直角坐标方程为 .以直角坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建
立极坐标 系，射线 的极坐标方程为 ，（ ）.
（1）求曲线 、 的极坐标方程；
（2）设点 、 为射线 与曲线 、 除原点之外的交点，求 的最大值.
【解析】（1）由曲线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 得 ，
即 ，∴曲线 的极坐标方程为 .
由曲线 的直角坐标方程 ， ，
∴曲线 的极坐标方程 .
（2）联立 ，得 ，∴ ，
1
联立 ，得 ，∴ .∴ .
∵ ，∴当 时， 有最大值 2.
3.在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ，（t 为参数），在以
原点 O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为
， 两点的极坐标分别为 ．
（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）点 是圆 上任一点，求 面积的最小值．
【解析】（1）由 消去参数 t，得 ，
所以圆 C 的普通方程为 ．
由 ，得 ，换成直角坐标系为 ，
所以直线 l 的直角坐标方程为 .
（2） 化为直角坐标为 在直线 l 上，并且 ，
设 P 点的坐标为 ，
则 P 点到直线 l 的距离为 ，
，所经 面积的最小值是 .
4.已知直线 的参数方程为 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为
2
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