专题07 数列的构成规律探索（原卷版）
专题 07 数列的构成规律探索
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，探求数列的构成规律，是数列不等式的综合应用问题的命题形式
之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
1.(1)已知
an
与
an
＋1 的关系式求通项
an
时，常有以下类型：①形如
an
＋1＝
an
＋
f
(
n
)(
f
(
n
)不
是常数)的解决方法是累加法；②形如
an
＋1＝
an
·
f
(
n
)(
f
(
n
)不是常数)的解决方法是累乘法；
③形如
an
＋1＝
pan
＋
q
(
p
，
q
均为常数且
p
≠1，
q
≠0)解决方法是将其构造成一个新的等比
数列；④形如
an
＋1＝
pan
＋
qn
(
p
，
q
均为常数，
pq
(
p
－1)≠0)解决方法是在递推公式两边同
除以
qn
＋1.
(2)给出
Sn
与
an
的递推关系，求
an
，常用思路是：一是利用
Sn
－
Sn
－1＝
an
(
n
≥2)转化为
an
的
递推关系，再求其通项公式；二是转化为
Sn
的递推关系，先求出
Sn
与
n
之间的关系，再求
an
.
2.证明数列{
an
}是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明
an
＋1－
an
(
n
∈N*)为一常数；
(2)利用等差中项，即证明 2
an
＝
an
－1＋
an
＋1(
n
≥2)．
3.证明数列{
an
}是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明 为一常数；
(2)利用等比中项，即证明 ＝
an
－1
an
＋1(
n
≥2)．
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷Ⅱ理科·T12)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a1a2…
an…满足 ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数 m,使得 ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为 0-1
周期序列,并称满足 ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m 的
0-1 序列 a1a2…an…,C(k)= aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为
5 的 0-1 序列中,满足 C(k)≤ (k=1,2,3,4)的序列是 ( )
A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…
例 2.(2020·北京高考·T21)已知{an}是无穷数列,给出两个性质:
① 对于{an}中任意两项 ai,aj(i>j),在{an}中都存在一项 am,使得 =am;
1
② 对于{an}中任意项 an(n≥3),在{an}中都存在两项 ak,al(k>l),使得 an= .
(1)若 an=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①,说明理由;
(2)若 an=2n-1(n=1,2,…),判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②,说明理由;
(3)若{an}是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:{an}为等比数列.
例3．（2021·江苏高三月考）雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，
由等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向
外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖出”的
部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：
（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲
线）若按照上述规律，一个边长为 的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长
是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知 ， ，…， 为 1，2，3，4，5的任意一个
排列.则满足：对于任意 ，都有 的排列 ， ，…，
有（ ）
A．49 个B．50 个C．31 个D．72 个
例5．（2021·浙江绍兴市·绍兴一中高三期末）已知数列 与 满足
2
， ， ，且 ，下列正确的是（
）
A．B．
C． 是等差数列 D． 是等比数列
例6．（2021·山西太原市·高三期末）意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的“兔子数
列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，在现代生物及化学等领
域有着广泛的应用，它可以表述为数列 满足 ， .
若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列 ，则 的前2021 项和为（ ）
A．2014 B．2022 C．2265 D．2274
例7．（2021·北京昌平区·高三期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂
纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶
体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 可以用如下方法定义：
.若此数列各项除以 4的余数依次构成一个新数
列 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
例8.（河北省衡水市第二中学2020 高三）数列 中的项按顺序可以排列成如图的形式，
第一行项，排；第二行项，从左到右分别排 ， ；第三行项，……以此类推，设
数列 的前项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为（ ）
4,
3
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