专题07 巧解函数的图象与性质（解析版）

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专题 07 巧解函数的图象与性质

[高考定位] 高考对本讲内容主要考查函数的概念、性质及分段函数等；重点考查求函数的定义域、分段函

数值的求解、分段函数中参数的求解及函数图象的识别；多与导数、不等式、创新性问题交汇命题；题目

常以选择题、填空题、压轴题的形式出现，难度较大．

[核心提炼]

1．函数的三要素

定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素．研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

2．分段函数

对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要

注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

求函数值时的 3个注意事项

(1)形如 f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．

(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

(3)对于利用函数性质的求值问题，必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解．

考向 1　识图

[核心提炼]

　函数图象识辨的常用方法

(1)由函数的定义域判断图象的左右位置；由函数的值域判断图象的上下位置．

(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势．

(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性．

(4)由函数的周期性识辨图象．

(5)由函数的特征点排除不合要求的图象．

(1)由函数解析式识别函数图象的步骤

(2)利用函数图象解决问题的关键是根据题意正确画出函数的图象．作函数图象有两种基本方法：一是描点

法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

考点三　函数的性质

[核心提炼]

1．与函数周期性有关的 5条结论

(1)若f(x＋T)＝f(x)，则 T是f(x)的一个周期．

(2)若f(x＋T)＝，则 2T是f(x)的一个周期．

(3)若f(x＋T)＝－，则 2T是f(x)的一个周期．

(4)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝f(x)(其中 a＜b)，则 y＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周

期函数．

(5)若对于定义域内的任意 x都有 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T＝2|a－

b|.

2．与函数对称性有关的 3条结论

(1)函数 y＝f(x)关于 x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)；

特例：函数 y＝f(x)关于 x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；

函数 y＝f(x)关于 x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．

(2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；

特例：函数 y＝f(x)关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；

函数 y＝f(x)关于点(0，0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．

(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a对称；

y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于(a，0)对称．

[规律方法]

　(1)判断函数单调性的常用方法

数形结合法、结论法(增＋增得增、减＋减得减及复合函数的同增异减)、定义法和导数法．

(2)判断函数是奇(偶)函数的关注点

必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))，而不能说存在 x0，使 f(－x0)＝－f(x0)(f(－x0)

＝f(x0))．

(3)函数 3个性质的应用

① 奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究

问题时可转化为只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数 f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．

② 单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．

③ 周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上

求解．

【题型】

一．函数单调性灵活应用

二．单调性与导数综合（构造函数）

三．函数奇偶性应用技巧

四．函数奇偶性与导数综合

五．函数的周期性

六．奇偶性与周期性综合

七．函数图象与零点

八．函数的对称性

九．函数性质综合

十．函数性质与参数范围

【方法规律讲解】

一．函数单调性灵活应用

例1．已知

( )f x

是定义在

(0, )

上的函数．对任意两个不相等的正数

1 2

,x x

，都有

2 1 1 2

1 2

( ) ( ) 0

x f x x f x

x x





，

记

0.2

(3 )

a

，

(0.3 )

0.3

b

，

(log 5)

log 5

c

，则

, ,a b c

的大小关系为（）

A．

abc 

B．

b a c 

C．

c a b 

D．

c b a 

【答案】B

【解析】设

 

1 2

0,x x  

，则

1 2 0x x 

，则由

2 1 1 2

1 2

( ) ( ) 0

x f x x f x

x x





得

   

2 1 1 2

0x f x x f x 

，化

简得

   

1 2

f x f x

x x



，令函数

   

f x

g x x



，即得

   

1 2

g x g x

，则得函数

   

f x

g x x



在定义域

 

0, 

上为单调增函数；当

 

2 1

0,x x  

时，同理可得函数

   

f x

g x x



在定义域

 

0, 

上为单调

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