专题6.4 基本不等式（解析版）

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第六篇 不等式、推理与证明
专题 6.4 基本不等式
【考纲要求】
1. 了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【命题趋势】
对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理、数学建模的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b时，等号成立．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则 a，b的算术平均数为　　，几何平均数为　　，基本不等式可叙述为两个正数的算术
平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y有最小值，是　2　(简记：积定和最小)；
(2)如果和 x＋y是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，xy 有最大值，是　　(简记：和定积最大)．
【真题体验】
1.【2019 年高考浙江卷】若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
1
【答案】A
【解析】当 时， 当且仅当 时取等号，则当 时，有
，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“
”的充分不必要条件.
【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断 失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，
通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
2.【2019 年高考天津卷理数】设 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一： .
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号成立.
又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，结合
可知， 可以取到 3，故 的最小值为 .
方法二：
2
.
当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
3.【2018 年高考天津卷理数】已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】：a，b∈R，且 a 3b+6=0﹣，
可得：3b=a+6，则 2a+ = = ≥2 = ，
当且仅当 2a=．即 a= 3﹣时取等号．
函数的最小值为： ．
故答案为： ．
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：
①，当且仅当 时取等号；
② ， ，当且仅当 时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，
同时求最值时注意“1的妙用”．
3
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