专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划（原卷版）

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第六篇不等式、推理与证明

专题 6.3 二元一次不等式（组）与线性规划

【考纲要求】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

【命题趋势】

对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划

知识解决实际问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0表示直线 Ax＋By＋C＝0某一侧的所有

点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面

区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线．

(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平

面的点，如果其坐标满足 Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 Ax＋By＋C<0.

(3)可在直线 Ax＋By＋C＝0的一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C的符号就可以判断 Ax

＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．

(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的公共部分．

2．线性规划中的有关概念

名称意义

约束条件由变量 x，y组成的不等式(组)

线性约束条件由 x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于 x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【真题体验】

1.【2019 年高考北京卷理数】若 x，y满足，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为（）

A．−7 B．1

C．5 D．7

【2019 年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

（）

A．2 B．3

C．5 D．6

3.【2019 年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是（）

A． B． 1

C． 10 D． 12

4.【2018 年高考全国 II 卷理数】若满足约束条件则的最大值为__________．

5.【2018 年高考北京卷理数】若满足，则 2y−x 的最小值是_________.

【2017 年高考全国 III 卷理数】若，满足约束条件，则的最小值为_______

___.

【考法解码•题型拓展】

考法一　　二元一次不等式(组)表示的平面区域

解题技巧：确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式．若满足不等式，则不等式表示的

平面区域为与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点

一般取(0,0)点．

(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线．

【例 1】 (1)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(　　)

A. B.

C. D.

(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是__________．

考法二　　线性目标函数的最值问题

归纳总结　　

(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的

线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目

标函数的最值．

(2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据

线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取

值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，

从而求出参数．

(3)利用可行域及最优解求参数及其范围．利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优

解的点，再利用已知条件可求参数的值或范围．

【例 2】 (1)设变量 x，y满足约束条件则目标函数 z＝2x＋5y的最小值为(　　)

A．－4 B．6

C．10 D．17

(2)(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则 z＝x＋y的最大值为______．

(3)x，y满足约束条件若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为__________．

考法三　　非线性目标函数的最值问题

归纳总结:非线性目标函数最值问题的常见类型及求法

(1)距离平方型：目标函数为 z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的

平方求解．

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