专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划（解析版）

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第六篇不等式、推理与证明

专题 6.3 二元一次不等式（组）与线性规划

【考纲要求】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决

【命题趋势】

对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划

知识解决实际问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0表示直线 Ax＋By＋C＝0某一侧的所有

点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线，把边界直线画成虚线；不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面

区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线．

(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平

面的点，如果其坐标满足 Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足 Ax＋By＋C<0.

(3)可在直线 Ax＋By＋C＝0的一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0＋C的符号就可以判断 Ax

＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．

(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各不等式所表示的平面区域的公共部分．

2．线性规划中的有关概念

名称意义

约束条件由变量 x，y组成的不等式(组)

线性约束条件由 x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于 x，y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x，y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【真题体验】

1.【2019 年高考北京卷理数】若 x，y满足，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为（）

A．−7 B．1

C．5 D．7

【答案】C

【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值 5.故选 C．

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基

础知识､基本技能的考查.

【2019 年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

（）

A．2 B．3

C．5 D．6

【答案】D

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目标函数在点处取得最大值.

由，得，

所以 .

故选 C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其

次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，

最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

3.【2019 年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是（）

A． B． 1

C． 10 D． 12

【答案】C

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

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