专题6.3 等比数列及其前n项和（讲）（原卷版）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 188.63KB 3 页 3知币

专题 6.3 等比数列及其前 n项和

1.理解等比数列的概念．　

2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式．　

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　

4.了解等比数列与指数函数的关系．

知识点一等比数列的定义

如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数

列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q≠0)表示．

数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)．

知识点二等比数列的通项公式及前 n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前 n项和公式：当 q＝1时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.

知识点三等比数列及前 n项和的性质

(1)如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b

成等比数列⇔G2＝ab.

(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an．

(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm．

(4)当q≠－1，或 q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn．

【必会结论】等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数

列，公比为 qk.

(5)公比不为－1的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn.

(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．

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