专题6.3 等比数列及其前n项和（讲）（解析版）

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专题 6.3 等比数列及其前 n项和
1.理解等比数列的概念．　
2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式．　
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　
4.了解等比数列与指数函数的关系．
知识点一 等比数列的定义
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)．
知识点二 等比数列的通项公式及前 n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前 n项和公式：当 q＝1时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.
知识点三 等比数列及前 n项和的性质
(1)如果 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b
成等比数列⇔G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm．
(4)当q≠－1，或 q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn．
【必会结论】等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数
列，公比为 qk.
(5)公比不为－1的等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn.
(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．
1
考点一 等比数列基本量的运算
【典例 1】【2019 年高考全国 I卷理数】记 Sn为等比数列{an}的前 n项和．若
2
1 4 6
1
3
a a a ，
，则
S5=____________。
【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为 q，由已知
2
1 4 6
1,
3
a a a 
，所以
3 2 5
1 1
( ) ,
3 3
q q
又
0q
，
所以 q=3，所以
5
5
1
5
1(1 3 )
(1 ) 121
3
1 1 3 3
a q
Sq
 
 
。
【方法技巧】
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一
般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当 q＝1时，{an}的前 n项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，
{an}的前 n项和 Sn＝＝。
【变式 1】【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4项和为 15，且
，则 a3 =（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 q，则
2 3
1 1 1 1
4 2
1 1 1
15
3 4
a a q a q a q
a q a q a
 
 
，
解得
11,
2
a
q
，
2
3 1
4a a q 
，故选 C。
考点二 等比数列的判定与证明
【典例 2】（2018·全国高考）已知数列 满足 ， ，设 ．
2
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