专题6.2 一元二次不等式及其解法（解析版）

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第六篇不等式、推理与证明

专题 6.2 一元二次不等式及其解法

【考纲要求】

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

【命题趋势】

对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次

函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也

是热点.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.

【素养清单•基础知识】

三个二次之间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实根

x1，x2

(x1＜x2)

有两相等实根

x1＝x2＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

{x|x＜x1或

x＞x2}

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}∅ ∅

【素养清单•常用结论】

(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法

不等式

解集

a＜b a＝b a＞b

(x－a)· {x|x＜a{x|x≠a} {x|x＞a

(x－b)＞0或x＞b}或x＜b}

(x－a)·

(x－b)＜0

{x|a＜x＜b}∅{x|b＜x＜a}

不等式 ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c＞0对任意实数 x恒成立⇔或　　.

(2)ax2＋bx＋c＜0对任意实数 x恒成立⇔或　　

【真题体验】

1.【2018 年高考全国 I卷理数】已知集合，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解不等式得，所以，所以可以求得

，故选 B．

2．已知全集 U＝R，集合 A＝{x，集合 B＝{x，则 A∩B＝(　　)

A．(1,2) B．(2,3)

C．[2,3) D．(1,2]

【答案】D　

【解析】

因为＞0，所以(x－1)(x－3)＜0，所以 1＜x＜3.又因为 4－2x≥0，所以 4≥2x，所以 x≤2，所以 A∩B＝

{x|1＜x≤2}．故选 D.

3．不等式 x(2－x)＞0的解集为__________．

【答案】 (0,2)

【解析】因为 x(2－x)＞0，所以 x(x－2)＜0，所以 0＜x＜2，故解集为(0,2)．

4．(2019·海安中学期中)若不等式 x2＋px＋2＜0的解集为(1,2)，则 p＝__________.

【答案】－3

【解析】由题意可知 1和2是方程 x2＋px＋2＝0的两个根，所以 1＋2＝－p，即 p＝－3.

5．不等式 x2＋ax＋4≤0 的解集不是空集，则实数 a的取值范围是__________．

【答案】 (－∞，－4]∪[4，＋∞)

【解析】由题意可知 Δ＝a2－16≥0，解得 a≥4 或a≤－4.

【考法解码•题型拓展】

考法一　　一元二次不等式的解法

归纳总结　　

(1)解一元二次不等式的一般步骤

① 化为标准形式(二次项系数大于 0)；②确定判别式 Δ的符号；③若 Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程

的根，若 Δ<0，则对应的二次方程无实根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集．

(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论

① 二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的

形式；

② 当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ与零的关系；

③ 确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

【例 1】 (1)(2019·山东实验中学诊断)不等式－x2＋|x|＋2＜0的解集是(　　)

A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}

【答案】B

【解析】原不等式化为|x|2－|x|－2>0，所以(|x|－2)(|x|＋1)>0.因为|x|＋1＞0，所以|x|－2＞0，即|x|＞2，解得 x

＜－2或x＞2.故选 B.

(2)(2019·长春外国语学校质检)若关于 x的不等式 ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于 x的不等式＞0的

解集为(　　)

A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)

C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)

【答案】B

【解析】关于 x的不等式 ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，所以 a＜0，＝－2，所以 b＝－2a，所以＝.因为 a

＜0，所以＜0，解得 x＜0或1＜x＜2.故选 B.

(3)(2019·泉州中学月考)若不等式 ax2＋bx＋2＞0的解集为，则不等式 2x2＋bx＋a＜0的解集是__________．

【答案】{x|－2＜x＜3}

【解析】由题意知－和是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0的两根且 a＜0，所以解得

则不等式 2x2＋bx＋a＜0，即 2x2－2x－12＜0，所以 x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.

考法二　　一元二次不等式恒成立问题

解题技巧:不等式恒成立问题的求解方法

(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．

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