专题6 理科高考中的二面角问题（解析版）-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

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专题 6：理科高考中的二面角问题（解析版）
求二面角
二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内
作射线 ，则 为二面角 的平面角.
如图：
求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角
为 ，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角
根据具体图形确定 是锐角或是钝角：
如果 是锐角，则 ， 即 ；
如果 是钝角，则 ， 即 .
1．如图所示， 平面 ABCD，四边形 AEFB 为矩形， ， ，
．
（1）求证： 平面 ADE；
（2）求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）根据 ， ，从而证明平面 平面 ADE，从而 平面
ADE。（2）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，写出点的空间坐标，根据
OA
B
O
A
B
l
向量法求解即可。
【详解】
（1）∵四边形 ABEF 为矩形
又 平面 ADE，AE 平面 ADE
平面 ADE
又 ，
同理可得： 平面 ADE
又 ，BF，BC 平面 BCF
∴平面 平面 ADE
又CF 平面 BCF
平面 ADE
（2）如图，以 A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，则
， ，
, ,
设 是平面 CDF 的一个法向量，则
即
令 ，解得
又 是平面 AEFB 的一个法向量，
∴平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值为 .
【点睛】
此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于
简单题目。
2．如图 和 均为等腰直角三角形， ， ，平面
平面 ， 平面 ， ，
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）本问证明 ，可以通过线面垂直证明线线垂直，根据题意，
取AB 中点 F，连接 DF，CF，然后证明 AB 平面 DFCE，易证明 AB CF，AB
DF，于是问题得证明；（2）根据第（1）问，以 F为原点，FB，FC，FD 所在直线分
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