专题06 函数与导数(解析版)

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专题 06 函数与导数
1. 已知函数 .
（1）求函数 图象经过的定点坐标；
（2）当 时，求曲线 在点 处的切线方程及函数 单调区间；
（3）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，所以 ，所以函数 的图象无论 为何值都
经过定点 .
（2）当 时， . ， ， ，
则切线方程为 ，即 .
在 时，如果 ，即 时，函数 单调递增；
如果 ，即 时，函数 单调递减.
（3） ， .
当 时， ， 在 上单调递增. ， 不恒成立.
当 时，设 ， .∵ 的对称轴为 ， ，
∴ 在 上单调递增，且存在唯一 ，使得 .
∴当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
∴当 时， ，即 ， 在 上单调递增.
∴ 在 上的最大值 .
∴ ，得 ，解得 .
1
2. 设函数
 
x
f x xe ax 
（
,a R a
为常数），
e
为自然对数的底数.
（1）当
 
0f x
时，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求使得 成立的最小正整数 .
【解析】（1）由
 
0f x
可知
 
0
x
x e a 
，
当
时， ，由 ，解得 ；
当 时， ，由 ，解得 或 ；
当 时， ，由 ，解得 或
；
（2）当
2a
时，要使
 
0f x k 
恒成立，即
2
x
xe x k  
恒成立，
令
 
2
x
f x xe x 
，则
     
1 2, 2
x x
f x h x x e h x x e    
 
，
当
 
, 2x  
时，
 
0h x
，函数
 
h x
在 上单调递减；
当 时， ，函数 的 上单调 递增．
又因为 时， ，且 ，
所以，存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增．
所以，当 时， 取到最小值．
，
因为 ，所以 ，
2
从而使得 恒成立的最小正整数 的值为 1．
3.已知函数 ， .
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 有两个零点，求 的取值范围.
【解析】（Ⅰ） .
（i）若 ，则当 时， ；当 时， ；
故函数 在 单调递减，在 单调递增．
（ii）当 时，由 ，解得： 或 .
① 若 ，即 ，则 ， ，
故 在 单调递增．
② 若 ，即 ，则当 时， ；当
时， ；故函数在 ， 单调递增，在
单调递减．
③ 若 ， 即 ， 则 当 时 ， ； 当
时， ；故函数在 ， 单调递增，在
单调递减．
（Ⅱ）（i）当 时，由（Ⅰ）知，函数 在 单调递减，在 单调递
增．
∵ ，
3
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