专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用（原卷版）

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专题 06 函数、导数与数列、不等式的综合应用
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研
究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置 .其中，函
数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数
与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应
用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.
1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参
数取值范围.如
2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解.
3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构
造函数.
【压轴典例】
例 1.(2020·全国卷
Ⅱ
理科·T21)已知函数
f
(
x
)=sin2
x
sin 2
x.
(1)讨论
f
(
x
)在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|
f
(
x
)|≤ ;
(3)设
n
∈N
*
,证明:sin2
x
sin22
x
sin24
x
…sin22
nx
≤
.
例 2.(2020·浙江高考·T22)已知 1<a≤2,函数 f(x)=ex-x-a,其中 e=2.718 28…为自然对
数的底数.
(Ⅰ)证明:函数 y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;
(Ⅱ)记 x0为函数 y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:
(ⅰ) ≤x0≤ ; (ⅱ)x0f( )≥(e-1)(a-1)a.
例3
.
(2020·天津高考·T20)已知函数
f
(
x
)=
x
3+
k
ln
x
(
k
∈R),
f'
(
x
)为
f
(
x
)的导函数
.
(1)当
k
=6 时,
① 求曲线
y
=
f
(
x
)在点(1,
f
(1))处的切线方程;
② 求函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
f'
(
x
)+ 的单调区间和极值;
1
(2)当
k
≥-3 时,求证:对任意的
x
1,
x
2∈[1,+∞),且
x
1>
x
2,有 >
.
例4．（2021·浙江金华市·高三期末）设 ，已知函数 ，
．
（1）当 时，证明：当 时， ；
（2）当 时，证明：函数 有唯一零点．
例5．（2021·江苏南通市·高三期末）已知函数 ， .
（1）若关于.的不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取
值范围；
（2）设 ， .
①求证： ；
②若数列 满足 ， ，求证： .
例 6.(2020·江苏高考·T19)已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,b∈R)在区
间 D 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x).
(1)若 f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞).求 h(x)的表达式;
(2)若 f(x)=x2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+∞).求 k 的取值范围;
(3) 若 f(x)=x4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0<|t|≤ ),D=[m,n]⊆[- , ],
求证:n-m≤ .
例 7.（2019·全国高考真题）记
Sn
为等差数列{
an
}的前
n
项和，已知
S
9=－
a
5．
2
（1）若
a
3=4，求{
an
}的通项公式；
（2）若
a
1>0，求使得
Sn
≥
an
的
n
的取值范围．
例 8.（2019·江苏高考真题）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{
an
}满足：
2 4 5 13 2
, 4 4 0a a a a a a  
，求证:数列{
an
}为“M－数
列”；
（2）已知数列{
bn
}满足:
1
1
1 2 2
1,
n n n
bS b b
 
，其中
Sn
为数列{
bn
}的前
n
项和．
① 求数列{
bn
}的通项公式；
② 设
m
为正整数，若存在“M－数列”{
cn
}
，对任意正整数
k
，当
k
≤
m
时，都有
1k k k
c b c
„ „
成立，求
m
的最大值．
例9.（2020·湖南高考模拟）设函数
( ) ln( 1)( 0)f x x x  
，
( 1)
( ) ( 0)
1
x x a
g x x
x
 
 
.
（1）证明：
2
( )f x x x 
.
（2）若
恒成立，求
a
的取值范围；
（3）证明：当
*
n N
时，
2
2
1 2 1
ln( 3 2) 4 9
n
n n n
 
.
例 10.（2020·江苏高考模拟）已知数列
 
n
a
，
12a
，且
2
1
1
n n n
a a a
 
对任意
n
N
恒成立．
（1）求证：
1 1 2 2 1
1
n n n n
a a a a a a
 
 
(
n
N
)；
（2）求证：
1
1
n
n
a n
 
(
n
N
)．
3
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