专题5.4 平面向量的综合应用（重难点突破）（解析版）

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专题 5.4 平面向量的综合应用
一、考情分析
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.
二、经验分享
考点一 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问
题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ，
其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ，
其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且
a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义
cos θ＝(θ为向量 a，b的夹角)，其
中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义
|a|＝＝，
其中 a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题。
考点二 向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，
进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
考点三 向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量
的共线与垂直求解相关问题。
1
三、题型分析
重难点题型突破 1 平行与垂直
例1、.已知单位向量 ,的夹角为 45°， 与 垂直，则 k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【变式训练 1-1】、（山东省德州一中 2018-2019 学年期中）若 ，且 ，
则实数 的值是（ ¨ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-2
【答案】D
【解析】由 得 ， ，∴ ，故 ．
【变式训练 1-2】、（河北省示范性高中 2019 届联考）已知向量 ， 满足 ， ，
且 在 方向上的投影是 ，则实数 （ ）
A．B．C．2 D．
【答案】D
【解析】向量 ， 满足 ， ，所以 ， ，
，所以 ，即 ，
2
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