专题05 利用函数的图像探究函数的性质（解析版）

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专题 05 利用函数的图像探究函数的性质

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、（2020·山东省东明县实验中学月考）已知函数

 

log ( 1), 0

2 , 0

x x

f x x x x

 



  



. 若函数

   

g x f x m 

有

3个零点，则实数

的取值范围是________;若

 

f x m

有2个零点，则

m

________．

【答案】

(0,1)

或

【解析】

由题意，函数

   

g x f x m 

有3个零点，转化为

 

0f x m 

的根有 3个，

转化为

 

y f x

和

y m

的交点有 3个，

画出函数

 

log ( 1), 0

2 , 0

x x

f x x x x

 



  



的图象，如图所示，则直线

y m

与其有 3个公共点，

又抛物线的顶点为

( 1,1)

，由图可知实数

的取值范围是

(0,1)

．

若

 

f x m

有2个零点，则

0m

或

( 1) 1m f  

．故答案为：

(0,1)

；

或

．

2、(2018 南京、盐城一模）设函数 f(x)是偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝若函数 y＝f(x)－m有四个不同的零点，

则实数 m的取值范围是________．

【答案】：. 　

【解析】先画出 x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到 x<0 时的图像．令 y＝0得f(x)＝m.令y＝

f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则 m∈.

3、(2017 苏锡常镇二模）已知函数 f(x)＝若函数 g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数 m的取值范围

是________．

【答案】(1,2]　

解法 1 问题转化为 g(x)＝0，即方程 f(x)＝2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程 f(x)＝2x有三个不同

的解，所以解得 1<m≤2.

解法 2 由题意知函数 g(x)＝画出函数 y＝4－2x和y＝x2＋2x－3的图像，可知函数 g(x)的三个零点为－

3，1,2，因此可判断 m在1与2之间．当 m＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当 m＝2时，图像包含点

(2,0)，符合题意．所以 1<m≤2.

4、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数 f(x)＝(其中 e为自然对数的底数)有3个

不同的零点，则实数 m的取值范围是________．

【答案】：. (1，＋∞)　

解法 1(直接法) 当x>0 时，令 f(x)＝e－x－＝0，解得 x＝ln2>0，此时函数 f(x)有1个零点，因为要求函

数f(x)在R上有 3个不同的零点，则当 x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为 f′(x)＝3x2－

3m，令 f′(x)＝0，则 x2－m＝0，若 m≤0，则函数 f(x)为增函数，不合题意，故 m>0，所以函数 f(x)在(－∞，

－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即 f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使 f(x)＝

x3－3mx－2在(－∞，0]上有 2个不同的零点，则 f(x)max＝2m－2>0，即 m>1，故实数 m的取值范围是(1，

＋∞)．

解法 2(分离参数) 当x>0 时，令 f(x)＝e－x－＝0，解得 x＝ln2>0，此时函数 f(x)有1个零点，因为要求

函数 f(x)在R上有 3个不同的零点，则当 x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即 x3－3mx－2＝

0，显然 x＝0不是它的根，所以 3m＝x2－，令 y＝x2－(x<0)，则 y′＝2x＋＝，当 x∈(－∞，－1)时，y

′<0，此时函数单调递减；当 x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故 ymin＝3，因此，要使 f(x)＝x3

－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需 3m>3，即 m>1.

5、（2020 届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形

沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函

数的判断正确的是( )

A．函数是奇函数 B．对任意的，都有

C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增

【答案】BCD

【解析】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；

当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；

当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，

因此函数在恰好为一个周期的图像；

所以函数的周期是；其图像如下：

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