专题05 函数【知识梳理】（原卷版）

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专题 05 函数【知识梳理】

一、函数的概念

1.函数的概念

设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则 f，对 A中的任意数 x，都有唯一确定的数 y与

它对应，那么就称 f ： A → B

为从集合 A到集合 B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.

2.函数的定义域、值域

(1)函数 y＝f(x)自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{ y | y

＝ f ( x ) ， x ∈ A } 叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量 x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为

分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

【例题 1】下列图形中，不可能是函数图象的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，

表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．

所以 D不是函数图像．

故选：D

【例题 2】已知函数则 =（）

A．B．9 C．D．

【答案】A

【详解】

所以 .

故选：A

【跟踪训练 1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A．与 B．与

C．与 D．与

【跟踪训练 2】已知定义在上的函数满足：，，，且

，则（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【跟踪训练 3】已知函数，若，则实数 a的取值范国是（）

A．B．

C．D．

二、函数的性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

定义

设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 M⊆A，如果取区间 M中任

意两个值 x1，x2，改变量 Δx＝x2－x1>0，则当

Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)>0

时，就称

函数 y＝f(x)在区间 M上是

增函数

Δ y ＝ f ( x 2) － f ( x 1)<0

时，就称函数

y＝f(x)在区间 M上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间 M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 M上具有单

调性，区间 M称为单调区间.

2.函数的最值

前提设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足

条件 (1)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ；

(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M

(3)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；

(4)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M

结论 M为最大值 M为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

奇函数

设函数 y＝f(x)的定义域为 D，如果对 D内的任意一

个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则这个函数叫

做奇函数

关于原点对称

偶函数

设函数 y＝g(x)的定义域为 D，如果对 D内的任意一

个x，都有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x ) ，则这个函数叫

做偶函数

关于 y

轴对称

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，

都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数

就叫做 f(x)的最小正周期.

【例题 1】设为奇函数，且当时，，则当时，（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

设，则，

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