专题04空间几何体的内切球、外接球问题（解析版）-2020年高考数学（理）立体几何二轮专项提升

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《2020 年数学（理）立体几何二轮专项提升》
专题 04 空间几何体的内切球、外接球问题
一、 高考题型特点：
是高考中的热点问题，以小题形式呈现，难度中等偏上。
二、重难点：
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与
多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平
面问题.
2.若球面上四点 P，A，B，C中PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正
方体确定直径解决外接问题.
三、易错注意点：
(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，
通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面.
(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住
外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
四、典型例题：
例1.（2019 全国卷Ⅰ）已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2的
正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O的体积为（ ）
A．
6
8
B．
6
4
C．
6
2
D．
6
【答案】D
【解析】由
PA PB PC 
及
ABC△
是边长为 2的正三角形可知，三棱锥
P ABC
为正三棱锥，
则顶点 P在底面的射影 O为底面三角形的中心.连接 BO 并延长，交 AC 于G，
则
，又
,PO AC PO BG O I
，可得 AC⊥平面 PBG，则 PB⊥AC.
因为 E，F分别是 PA，AB 的中点，所以
EF PBP
.
又
90CEF  
，即 EF⊥CE，所以 PB⊥CE，得 PB⊥平面 PAC.
所以 PB⊥PA
，
PB⊥PC.
又因为
PA PB PC 
，
ABC△
是正三角形，
所以
PAC PBC PAB△ ≌△ ≌△
，故
PA PC
所以正三棱锥
P ABC
的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即
2 2 2
6d PA PB PC  
, 半径为
6
2
，
则球 O的体积为
3
4 6
π 6π
3 2
 
 
 
 
 
．故选 D．
例2．（2017 天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球
的体积为 ．
【答案】
9π
2
【解析】设正方体边长为
a
，由
2
6 18a
，得
2
3a
，
外接球直径为
2 3 3R a 
，
3
4 4 27 9
π π π
3 3 8 2
V R  
．
例3．（2017 江苏卷）如图，在圆柱
1 2
O O
内有一个球
O
，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆
柱
1 2
O O
的体积为
1
V
，球
O
的体积为
2
V
，则
1
2
V
V
的值是 ．
【答案】
3
2
【解析】设球的半径为
r
，则
2
1
3
2
2 3
42
3
Vr r
Vr
 
．
例4.(2016 全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1内有一个体积为 V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝
8，AA1＝3，则 V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
【答案】　B
【解析】　由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10.
要使球的体积 V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半
径为 r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以 r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R最大.
由2R＝3，即 R＝.
故球的最大体积 V＝πR3＝π.
五、强化提升训练：
1．已知三棱锥 PABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥 PABC 的外接
球的表面积为(　　)
A．12π B．6π
C．24π D.
【答案】B　
【解析】如图，
∵PB⊥平面 ABC，∴PB⊥AB，
∵AB＝1，PA＝，∴PB＝2，
又AB⊥BC，把三棱锥 PABC 补形为长方体，则长方体对角线长为＝，
则三棱锥 PABC 外接球的半径为，
∴三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4π×＝6π.故选 B.
2．(2019·金水区校级月考)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是(　　)
A．24π B．36π
C．48π D．60π
【答案】C
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