专题04分式方程的含参问题与应用（解析版）【苏科版】

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2020 年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题 04 分式方程的含参问题与应用
【方法指导】
1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
2.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
3.分式方程的增根问题：
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0
或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是 0，则是原分式方程的根．
4.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这 5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时
间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【题型剖析】
【类型 1】解分式方程
【例 1】（2019•江都区三模）解方程：
【分析】
先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根．
【解析】去分母，得
4x﹣5（x﹣1）＝0，
去括号，得
4x﹣5x+5＝0，
1
合并同类项，得
﹣x+5＝0，
解得 x＝5，
检验：将 x＝5代入原分式方程，
左边＝0＝右边，
∴原分式方程的解为 x＝5．
【方法小结】本题考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程
是解题的关键．
【变式 1-1】（2019•润州区二模）（1）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的
解；
【解析】（1）去分母得：1+x﹣2＝﹣6，
解得：x＝﹣5，
经检验 x＝﹣5是分式方程的解；
【方法小结】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式 1-1】解方程： 1；
【分析】分别求出不等式的解集，然后找到其公共部分即可．
【解答】（1）解：去分母：两边乘以（x﹣3）（x+3）得（x+3）2﹣4（x﹣3）＝x2﹣9，
2x＝﹣30，
x＝﹣15，
检验：将 x＝﹣15 代入（x+3）（x﹣3）≠0，
∴原分式方程的解为 x＝﹣15；
【变式 1-2】（2019•苏州模拟）对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 max{a，b}表示 a、b中较大
的数，如：max{2，4}＝4．按照这个规定．方程 max{x，﹣x}的解为（　　）
A．B．C． 或 D． 或﹣1
【分析】分 x＜﹣x和x＞﹣x两种情况将所求方程变形，求出解即可．
【解析】当 x＜﹣x，即 x＜0时，所求方程变形为﹣x，
去分母得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
2
解得：x1＝x2＝﹣1，
经检验 x＝﹣1是分式方程的解；
当x＞﹣x，即 x＞0时，所求方程变形为 x，
去分母得：x2﹣2x﹣1＝0，
代入公式得：x1± ，
解得：x3＝1，x4＝1（舍去），
经检验 x＝1是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 1或﹣1．
故选：D．
【类型 2】：分式方程的增根问题
【例 2】（2019•高邮市二模）若关于 x的方程 有增根，则 m的值为　　．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0的根．有增根，最简公分母 x﹣2
＝0，所以增根是 x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解析】方程两边都乘（x﹣2），得
x﹣3＝﹣m，
∵方程有增根，
∴最简公分母 x﹣2＝0，即增根是 x＝2，
把x＝2代入整式方程，得 m＝1．
故答案为：1．
【方法小结】考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式 2-1】（2019•高密市一模）若关于 x的分式方程 有增根，则 m的值为　 　 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0的根．有增根，最简公分母 x﹣3
＝0，所以增根是 x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出 m的值．
【解析】方程两边都乘 x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）＝m2，
∵原方程增根为 x＝3，
3
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