专题04 等差数列与等比数列-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）（原卷版）
专题 04 等差和等比数列
【要点提炼】
1.等差数列
(1)通项公式：
an
＝
a
1＋(
n
－1)
d
；
(2)求和公式：
Sn
＝＝
na
1＋
d
；
(3)常用性质：
① 若
m
，
n
，
p
，
q
∈N*，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
am
＋
an
＝
ap
＋
aq
；
②
an
＝
am
＋(
n
－
m
)
d
；
③
Sm
，
S
2
m
－
Sm
，
S
3
m
－
S
2
m
，…成等差数列.
2.等比数列
(1)通项公式：
an
＝
a
1
qn
－1(
q
≠0)；
(2)求和公式：
q
＝1，
Sn
＝
na
1；
q
≠1，
Sn
＝＝；
(3)常用性质：
① 若
m
，
n
，
p
，
q
∈N*，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
am
·
an
＝
ap
·
aq
；
②
an
＝
am
·
qn
－
m
；
③
Sm
，
S
2
m
－
Sm
，
S
3
m
－
S
2
m
，…(
Sm
≠0)成等比数列.
温馨提醒 应用公式
an
＝
Sn
－
Sn
－1 时一定注意条件
n
≥2，
n
∈N*.
【方法指导】
常见等差、等比数列的技巧:
1、数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决；
2、运用方程的思想解等差（等比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量，掌
握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算；
3、分类讨论的思想在本内容尤为突出，学习时考虑问题要全面，如等比数列 和
要注意两种情况等等；
4、等价转化是数学复习中常运用的，数列也不列外，如 与 的转化将一些数列转化
成等差（比）数列来解决等，要及时总结归纳；
5、深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质解决问题；
6、掌握一些基本的数学方法：如观察法、类比法、待定系数法、归纳法，数形结合法等；
命题点一 会求等差、等比数列的基本量
【典例 1】 （2020·河南开封市·高三一模（理））已知 是各项均为正数的等比数列，
， .
（1）求 ；
（2）在平面直角坐标系 中，设点列 都在函数 的图象
上，若 所在直线的斜率为 ，且 ，求数列 的通项公式.
【方法总结】
等差、等比数列基本量的运算是等差、等比数列中的一类基本问题，等差（比）数列
中有五个量 ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而
解。
【拓展练习】
1.（2021·江西高三其他模拟（理））已知等差数列 为递减数列且首项 ，等比
数列 前三项依次为 ， ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前
n
项和 ．
命题点二 运用等差、等比数列的基本性质解题
【典例 2】（1）（2021·江西高三其他模拟（文））已知等差数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
，
且满足
a
1+
a
2=7，
am
+
am
-1=73(
m
≥3)，
Sm
=2020 则
m
的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．202
（2）、（2021·山西吕梁市·高三一模（理））已知等比数列 满足 ，
，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【方法总结】
解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：
1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目
标明确；
2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在
应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运
算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【拓展练习】
2.（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））数列 是等差数列， 为其前 项和，且
， ， ，则使 成立的最大正整数 是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽蚌埠市·高三二模（理））在各项均为正数的等比数列中 ，
， ，则 （ ）
A．1 B．9C． D．
命题点三 赏析数列中的数学文化
【典例 3】（1）（2021·河南郑州市·高三一模（理））《周髀算经》中有这样一个问题:
从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒
种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 尺，
前九个节气日影长之和为 尺，则谷雨日影长为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·四川宜宾市·高三一模（理））《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数
学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，
小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天
加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第 天后大老鼠打洞的总进
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