专题04 “用好零点”，确定参数的最值或取值范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题（解析版）

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专题四 “用好零点”，确定参数的最值或取值范围
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数
的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间—
—零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确
定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确
定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
例 1.【山东省淄博市 2019 届高三 3 月模拟】已知函数 .
（1）若 是 的极大值点，求 的值；
（2）若 在 上只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
(1) ，
因为 是 的极大值点，所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
故 是 的极大值点；
(2)令 ， ，
在 上只有一个零点即 在 上只有一个零点,
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以
.
（Ⅰ）当 ，即 时， 时， 在 上只有一个零点，即 在 上
只有一个零点.
（Ⅱ）当 ，即 时，取 ，
1
，
① 若 ，即 时， 在 和 上各有一个零点，即 在 上有 2 个零点，
不符合题意；
② 当 即 时， 只有在 上有一个零点，即 在 上只有一个零点，
综上得，当 时， 在 上只有一个零点.
例 2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第一次模拟】已知函数
（ 为自然对数的底数）， .
（1）当 时，求函数 的极小值；
（2）若当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求 的取值范围.
【答案】（1）0（2）
【解析】
（1）当 时， ， ，
令 则 列表如下：
1
单调递减 极小值 单调递增
所以 .
（2）设 ，
，
设 ， ，
由 得， ， ， 在 单调递增，
即 在 单调递增， ，
① 当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增,
又 ，故当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，符合题意.
② 当 ，即 时，由（1）可知 ，
所以 ，又
2
故 ，当 时， ， 单调递减，又 ，
故当 时， ，
在 内，关于 的方程 有一个实数解 1.
又 时， ， 单调递增，
且 ，令 ，
, ,故 在 单调递增，又
在 单调递增，故 ，故 ，
又 ，由零点存在定理可知， ，
故在 内，关于 的方程 有一个实数解 .
又在 内，关于 的方程 有一个实数解 1，不合题意.
综上， .
例 3. 已知函数
 
ln 1
ax
f x e x 
，其中
a R
.
（1）设
   
ax
F x e f x
，讨论
 
F x
的单调性；
（2）若函数
   
g x f x x 
在
内存在零点，求
a
的范围.
【答案】（1） 见解析；（2）
a
的取值 范围是
1
0, 2
 
 
 
.
【解析】
（i） 当
0a
时，则
11 1xa
 
，因此在
 
1, 
上恒有
 
' 0F x
，即
 
F x
在
 
1, 
上单调递减；
3
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