专题3.导数--《2021届浙江省优质数学试卷分项解析03》【原卷版】

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专题 3.导数
1.从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数
的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒
成立问题、求参数范围等.
2.浙江省恢复对导数的考查后，已连续三年将导数应用问题设计为压轴题，同时在小题中也加以考查，难
度控制在中等以上.特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结
合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
3.常见题型，选择题、解答题各一道，难度基本稳定在中等以上.
预测 2021 年，浙江省高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，
如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.
1．（2020·全国高考真题（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2020·全国高考真题（理））若直线
l
与曲线
y
= 和
x
2+
y
2= 都相切，则
l
的方程为（ ）
A．
y
=2
x
+1 B．
y
=2
x
+ C．
y
=
x
+1 D．
y
=
x
+
3．（2020·全国高考真题（文））设函数 ．若 ，则
a
=_________．
4．52．（2020·全国高考真题（理））已知函数
f
(
x
)=sin2
x
sin2
x
.
（1）讨论
f
(
x
)在区间(0，
π
)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设
n
∈
N
*，证明：sin2
x
sin22
x
sin24
x
…sin22
nx
≤ .
1
5．（2020·浙江省高考真题）已知 ，函数 ，其中
e
=2.71828…为自然对数的底
数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记
x
0为函数 在 上的零点，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
一、单选题
1．（2020·浙江衢州市·高三月考）已知函数
 
f x
的图象如图所示，则
 
y f x
的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数
1
1, 1,
( ) ln ,0 1,
x
e x
f x x x
 
 
，
( ) ( )g x f x ax b  
，则下列说
法正确的有（ ）
① 存在
,a b R
，函数
( )g x
没有零点；
② 存在
,a b R
，函数
( )g x
恰有三个零点；
③ 任意
，存在
0a
，函数
( )g x
恰有一个零点；
④ 任意
0a
，存在
，函数
( )g x
恰有二个零点；
A．1个B．2个C．3个D．4个
2
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）函数
( ) 2sin ( 0)f x x x x 
的所有极小值点从小到大排列成数列
 
n
a
，设
n
S
是
 
n
a
的前 n项和，则
2021
sin S
（ ）
A．1 B．
3
2
C．0 D．
3
2
4．（2021·浙江湖州市·高三期末）已知函数
 
 
 
2 2
1 ln 1 0, ,
2
a
f x a x x a a x b x a b   R R
.若函数
 
f x
有三个零点，则（ ）
A．
1a
，
0b
B．
0 1a 
，
0b
C．
0a
，
0b
D．
0 1a 
，
0b
5．（2021·浙江嘉兴市·高三期末）对任意
0x
，若不等式
2
eln e
x
a x ax
x  
恒成立(
e
为自然对数的底
数)，则正实数
a
的取值范围是（ ）
A．
(0,e]
B．
2
(0,e ]
C．
2
[ ,e]
e
D．
2
2
[ ,e ]
e
6．（2021·浙江杭州市·高三期末）设函数
( ) ln 2
e
f x x mx n
x
 
.若不等式
( ) 0f x
对
 
0,x 
恒
成立，则
n
m
的最大值为（ ）
A．
4
e
B．
2
e
C．
e
D．
2e
7．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知函数
 
2
( )
x x
f x x e e x
 
，若
( ) ( ) ( )f x f y f x y  
，则
（ ）
3
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