专题3.6 解三角形应用举例（解析版）

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第三篇三角函数与解三角形

专题 3.6 解三角形应用举例

【考纲要求】

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

【命题趋势】

解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综

合考查.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养.

【素养清单•基础知识】

测量中的有关几个术语

术语名称术语意义图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视

线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在

水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标

方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 θ的

范围是 0°≤θ<360°

方向角▲

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐

角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：(1)北偏东 α：(2)南偏西

α：

坡角与坡度

坡面与水平面的夹角叫做坡角(α)；坡面的垂

直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度　

▲相对于某一正方向的水平角

(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向；

(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向；

(3)南偏西等其他方向角类似．

【真题体验】

1．若点 A在点 C的北偏东 30°，点 B在点 C的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A在点 B的(　　)

A．北偏东 15° B．北偏西 15°

C．北偏东 10° D．北偏西 10°

【答案】B　

【解析】如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而 β＝30°，所以 α＝90°－45°－30°＝15°.

所以点 A在点 B的北偏西 15°.

2．如图，设 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB

＝45°，∠CAB＝105°，则 A，B两点的距离为(　　)

A．50 m B．50 m

C．25 m D． m

【答案】A　

【解析】由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)．

3．在相距 2千米的 A，B两点处测量目标点 C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C两点之间的距离为

__________千米．

【答案】

【解析】如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以 AC＝×＝.

4．如图，两座灯塔 A和B与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 A在观察站的南偏西 40°方向上，灯塔 B在观

察站的南偏东 60°方向上，则灯塔 A相对于灯塔 B的方向角是__________．

【答案】南偏西 80°

【解析】如题图，已知∠BCD＝60°，∠CBD＝30°.而∠ABC＝(180°－100°)＝40°，所以∠DBA＝40°－30°＝

10°，故 A在B的南偏西 80°处．

【考法拓展•题型解码】

考法一　测量距离问题

答题模板：求解距离问题的一般步骤

(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题．

(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素．

(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．

【例 1】 (1)要测量对岸 A，B两点之间的距离，选取相距 km 的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝

45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则 A，B之间的距离为__________km.

(2)如图所示，要测量一水塘两侧 A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 α，再

分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B两点间的距离．即 AB＝.若测得 CA＝400 m，CB＝600

m，∠ACB＝60°，则 A，B两点的距离为__________m.

【答案】 (1)　(2)200

【解析】 (1)如图，在△ACD 中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以 AC＝CD＝ km.在△BCD 中，

∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.所以 BC＝＝.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－

2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以 AB＝ km，即 A，B之间的距离为 km.

(2)由测量公式得 AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以 AB＝200(m)．即 A，B两点间的距离

为200 m.

考法二　测量高度问题

归纳总结

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