专题3.5 正弦定理和余弦定理（解析版）

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第三篇三角函数与解三角形

专题 3.5 正弦定理和余弦定理

【考纲要求】

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

【命题趋势】

正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.

【核心素养】

本讲的内容主要考查数学运算，直观想象的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．正弦定理

＝＝＝2R(R为△ABC 外接圆的半径)．

a＝2RsinA b＝2RsinB c＝2RsinC，

sin A＝ sin B＝ sin C＝，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，

asin B＝bsin A，

bsin C＝csin B，

asin C＝csin A，

＝2R

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C.

3．三角形的面积公式

(1)S△ABC＝aha(ha为边 a上的高)；

(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．　　

4.在△ABC 中，已知 a，b和A，解三角形时解的情况

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a<bsin A a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b

解的个数 __无解__ __一解__ __两解__ __一解__ __一解__ __无解__

【素养清单•常用结论】

1．三角形内角和定理

在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.

3．三角形中的射影定理

在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

4．用余弦定理判断三角形的形状

在△ABC 中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，当 b2＋c2－a2>0 时，可知 A为锐角；当 b2＋c2－a2＝0时，

可知 A为直角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A为钝角．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为 .若，则

的面积为_________．

【答案】

【解析】由余弦定理得，所以，即，解得

（舍去），

所以，

【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的

基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形

面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求

解能力的考查．

2.【2019 年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若

，则 ___________，___________．

【答案】，

【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，

，，所以 .

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想 .在

中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

3.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设

．

（1）求 A；

（2）若，求 sinC．

【答案】（1）；（2）.

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