3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用 -2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．
2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔ ；点 P在椭圆内部⇔ ；点 P在椭圆外部⇔
2．直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去 y得一个关于 x的一元二次方程．
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 解
相切 解
相离 解
【小试牛刀】
(1)点P(2,1)在椭圆＋＝1的内部． (　　)
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． (　　)
(3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2＋＝1相交． (　　)
(4)长轴是椭圆中最长的弦． (　　)
(5)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点 P(b,0)，过点 P可作出该椭圆的一条切线．(　　)
(6)直线 y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． (　 　)
【经典例题】
题型一　点与椭圆位置关系的判断
例1　已知点 P(k,1)，椭圆＋＝1，点 P在椭圆外，则实数 k的取值范围为____________．
[跟踪训练]1 已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则 m＋n的最小值为________．
题型二 直线与椭圆的位置关系
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，
1
得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．
例2 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：＋＝1.试问当 m取何值时，直线 l与椭圆 C：
(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
[跟踪训练]2 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，)且斜率为 k的直线 l与椭圆＋y2＝1有两个
不同的交点 P和Q，求 k的取值范围．
题型三 弦长和中点弦问题
1.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，
M(x0，y0)是线段 AB 的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即 kAB＝－.
2．求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其
中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式
可求得弦长．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
例3 已知斜率为 1的直线 l过椭圆＋y2＝1的右焦点 F，交椭圆于 A，B两点，求弦 AB 的长．
例4 已知椭圆＋＝1的弦 AB 的中点 M的坐标为(2,1)，求直线 AB 的方程．
2
[跟踪训练]3 过椭圆＋＝1内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被 M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
题型四 与椭圆有关的综合问题
例5 椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)经过点 A(－2,0)，且离心率为.
(1)求椭圆 E的方程；
(2)过点 P(4,0)任作一条直线 l与椭圆 C交于不同的两点 M，N.在x轴上是否存在点 Q，使得
∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【当堂达标】
1．若点 P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则 a的取值范围为(　　)
A． B．∪ C．D．
2．若直线 l：2x＋by＋3＝0过椭圆 C：10x2＋y2＝10 的一个焦点，则 b等于(　　)
A．1 B．±1 C．－1 D．±2
3．直线 y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B. C. D.
4．已知椭圆的方程是 x2＋2y2－4＝0，则以 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
5．已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直
线bx－ay＋2ab＝0相切，则 C的离心率为(　　)
A．　　　　　B． C． D．
6．椭圆 x2＋4y2＝16 被直线 y＝x＋1截得的弦长为________．
7．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度．
8．设椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被 C所截线段的中点的坐标．
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