3.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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3.1.2　第 1课时椭圆的简单几何性质

【学习目标】

课程标准学科素养

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)

2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出

相应的曲线．(重点、难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

图形

焦点的

位置焦点在 x轴上焦点在 y轴上

标准

方程＋＝1(a＞b＞0) (a>b>0)

范围

对称性对称轴为，对称中心为

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长短轴长|B1B2|＝，长轴长|A1A2|＝

焦点

焦距 |F1F2|＝

2.离心率

(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的．

(2)性质：离心率 e的范围是(0,1)．当 e越接近于 1时，椭圆；当 e越接近于 0时，椭圆就

越接近于圆．

思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？

【小试牛刀】

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于 a. (　　)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a－c. (　　)

(3)椭圆的离心率 e越小，椭圆越圆． (　　)

(4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10,8，则椭圆的方程为＋＝1. (　　)

(5)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为 a＋c(c为椭圆

的半焦距)．(　 )

【经典例题】

题型一　椭圆的简单几何性质

由标准方程研究性质时的两点注意

(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进

而确定椭圆的类型．

(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a与b，正确利用 a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶

点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 2a,2b,2c.

例1 求椭圆 9x2＋16y2＝144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

[跟踪训练]1 已知椭圆 C1：＋＝1，设椭圆 C2与椭圆 C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆

C2的焦点在 y轴上．

(1)求椭圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质．

题型二　由几何性质求椭圆的标准方程

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

① 确定焦点位置；

② 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

③ 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有

b2＝a2－c2，e＝等．

(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件

求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝；

(2)经过点 M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．

[跟踪训练]2　求出满足下列条件的椭圆的标准方程．短轴的一个端点到一个焦点的距离为

5，焦点到椭圆中心的距离为 3。

题型三　求椭圆的离心率

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知 a，c可直接利用 e＝求解．若已知 a，b或b，c可借助于 a2＝b2＋c2求出 c

或a，再代入公式 e＝求解．

(2)方程法：若 a，c的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c的齐次关系式，借助于 a2＝b2＋

c2，转化为关于 a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a的最高次幂，得

到关于 e的方程或不等式，即可求得 e的值或范围．

例3 设F1，F2是椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x＝上一点，△F2PF1是底角

为30°的等腰三角形，则 E的离心率为________．

[跟踪训练]3 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使PF1·PF2＝

0，求椭圆的离心率 e的取值范围．

[跟踪训练]4　已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点

为B，若椭圆 C的中心到直线 AB 的距离为|F1F2|，求椭圆 C的离心率．

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