3.1.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 函数的概念

【学习目标】

课程标准学科素养

1.理解函数的概念(重点、难点).

2.了解构成函数的三要素(重点).

3.正确使用函数、区间符号.

1、直观想象

2、数学运算

3、数学抽象

【自主学习】

1. 函数的概念

(1)函数的定义

设A，B是，如果对于集合 A中的，按照某种确定的对应关系 f，在集合

B中都有和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数，记作

(2)函数的定义域与值域

函数 y＝f(x)中，x叫做，

A叫做函数的定义域，与 x的值相对应的 y值叫

做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合 B的．

(3)对应关系 f：除解析式、图象表格外，还有其他表示

对应关系的方法，引进符号 f统一表示对应关系．

注意：判断对应关系是否为函数的 2个条件

①A、B必须是非空数集．

②A中任意一元素在 B中有且只有一个元素与之对应．

2.函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：、和。

3．相同函数

值域是由和决定的，如果两个函数的定义域和相同，我们就称这两个函

数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们相同的函数．

4. 区间及有关概念

(1)一般区间的表示.

设a，b∈R，且 a<b，规定如下：

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间

{x|a<x<b}开区间

{x|a≤x<b}半开半闭

区间 [a，b)

{x|a<x≤b}半开半闭

区间 (a，b]

(2)特殊区间的表示.

定义 R{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}

符号

【小试牛刀】

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)根据函数的定义，定义域中的一个 x可以对应着不同的 y.(　　)

(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　)

(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　)

(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．(　　)

(5)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．(　　)

(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．(　　)

(7)函数 f(2x－1)的定义域指 2x－1的取值范围．(　　)

【经典例题】

题型一　函数关系的判定

例1(1) 若集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从 M到N的函

数f：M→N的是(　　)

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集 R上的一个函数？为什么？

①f：把 x对应到 3x＋1； ② g：把 x对应到|x|＋1；

③h：把 x对应到； ④ r：把 x对应到.

[跟踪训练] 1 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数 y＝f(x)的定义域为 M，值域为 N，对于

下列四个图象，不可作为函数 y＝f(x)的图象的是(　　)

题型二已知函数的解析式求定义域

求函数定义域的几种类型

(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是 R.

(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．

例2 　求下列函数的定义域．

（1）y＝2＋； (2)y＝；

(3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋；

[跟踪训练] 2 求下列函数的定义域：

(1)y＝－. (2)y＝.

题型三　函数相同

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