3.1 函数定义域、值域和解析式求法小专题 教师版

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函数定义域、值域和解析式求法小专题
考点一：函数定义域的求法
复合函数求定义域的题型：
注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量 的取值集合。
注意 2：在同一函数 作用下，括号内整体的取值范围相同。
题型 1：已知 的定义域，求 的定义域；
例1：已知 的定义域是 ，求 的定义域。
1.解： 是由 ， 复合而成， ，即 ，
题型 2：已知 的定义域，求 的定义域；
例2：已知 的定义域是 ，求 的定义域。
2. 解： 是由 ， 复合而成， ， ，即
。
题型 3：已知 的定义域，求 的定义域；
1
例3：已知 的定义域是 ，求 的定义域。
3.解： 是由 ， 复合而成，
，即 ，即 ，
是由 ， 复合而成， ，即 ，即 。
巩固练习：
1.（1）已知函数 f(x)的定义域为[1，4]，则 f (x＋2)的定义域为______________。
（2）已知函数 f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则 f(x)的定义域为____________。
1：【解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2 （2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1
2.（1）已知函数 f(x)的定义域为[－5，5]，则 f (3－2x)的定义域为_______。
（2）已知函数 f(x＋1)的定义域为[0，3]，则 f(x2)的定义域为_______。
2.（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2
3.若函数 f(x)＝
√
ax2+2x+1
的定义域为 R，则实数
a
的取值范围是__________。
3.【解析】：
a
≥1
考点二：确定函数解析式的方法
2
1.构造法：已知 f [g(x)]的解析式，要求 f(x)的解析式，从 f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，两边用“x”代
替“g(x)”即可得到 f(x)的解析式。
1.若f(
1
x
)＝
x
1−x2
，求 f(2)
1.【解析】∵ f (
) ＝
x
1−x2
＝
1
x
(1
x)2−1
∴ f (x) ＝
x
x2−1
∴ f(2) ＝
2
22−1
＝
2
3
2.（1）已知 f (x＋
1
x
)＝x2＋
1
x2
，求 f (x) （2）已知 f (
√
x
＋1)＝x＋2
√
x
，求 f (x)
2.【解析】：（1）f(x)＝x2－2 （2）f (x) ＝x2－1
2.换元法：已知函数 f [g(x)]的解析式，令 g(x)＝t，求 f(t)的解析式，用 x代替两边所有的 t，即可。
3.已知函数 f (2x＋1) ＝x2－2x，求 f (1)
3.【解析】令 2x＋1＝t，则 x ＝
t−1
2
∴ f (t )＝(
t−1
2
)2－2×
t−1
2
＝
t2−6t+5
4
f (x)∴＝
x2−6x+5
4
∴ f (1) ＝
12−6×1+5
4
＝0
4.已知 f (
√
x
＋1)＝x＋2
√
x
，求 f (x)
3
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