2.5基本不等式与恒成立问题(解析版）-2020-2021学年高一数学常考题型专练（人教A版2019必修第一册）

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专题 2.5 基本不等式与恒成立问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 45 分钟，试题共 20 题．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4分，共 48 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020·安徽）若正实数 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】 ，C正确； 时， ，A错；
时， ，B错； ，D错．
2．（2020·石家庄市第十九中学高一期中）已知 ，若 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． 或 B． 或
C．D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当
，即 时取等号，又因为 恒成立，所以 ，解得
1
．
3．（2020·湖南省临澧县第一中学高一期中）已知 ，且 ，若 恒成立，则正
实数 的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【详解】因为 ， 恒成立，即 ，所以 ，
即 ，又 ，所以
所以 ，所以 ，所以正实数 的最小值为 2．
4．（2020·长春市第二中学高一月考）若命题“，”为真命题，则 a的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以由 ， 成立，可得 ，
5．（2020·安徽高二期中（理））若关于 x的不等式 对任意 恒成立，则正实数 a的最
大值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
而 ，当且仅当 时，取等号.所以原问题转化
为 ，解得 .正实数 a的最大值是 4.
6．（2020·山东济宁市·高一期中）已知两个正实数 满足 ，并且 恒成立，
则实数 的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为 恒成立，则 ，
，当且仅当 即
时等号成立，所以 的最小值为 ，所以 ，即 ，解得： ，
7．已知实数
a>0
，
b>0
，且
ab=1
，若不等式
(x+y)⋅(a
x+b
y)>m
，对任意的正实数
x
，
y
恒成立，则实数
m
的取值范围是( )
A．
B．
¿
C．
¿
D．
(−∞ , 4)
【答案】D
3
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