2.5.2 圆与圆的位置关系-2020-2021学年高二数学新教材配套学案（人教A版选择性必修第一册）

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2.5.2　圆与圆的位置关系
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方
法判断两圆的位置关系.
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
1．圆与圆的位置关系
两圆相交 有 公共点
两圆相切 和 公共点
两圆相离 和 公共点
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如
下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的
关系
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
思考：将两个相交的非同心圆的方程 x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，
这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
【小试牛刀】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　)
(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　)
1
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　 　)
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　 　)
2．圆 O1：x2＋y2－2x＝0和圆 O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
【经典例题】
题型一 两圆的位置关系
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距 d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位
置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
例1 已知圆 C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆 C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求 a
为何值时，两圆 C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[跟踪训练]1 已知圆 C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆 C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两
个圆的公切线的条数为(　　)
A.1 或3 B.4 C.0 D.2
题型二　两圆的公共弦问题
1．求两圆公共弦长的方法
一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方
程可设为 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
例2　已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度.
2
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