2.3.5 点与点，点与线，线与线对称专题 教师版人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义

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点点，点线，线线对称专题
1.对称
点M（x,y） 直线 Ax+By+C=0
关于 x轴对称 （x,-y）Ax+B(-y)+C=0
关于 y轴对称 （-x,y）A(-x)+By+C=0
关于原点对称 （-x,-y）A(-x)+B(-y)+C=0
关于直线 y=x 对称 （y,x）Ay+Bx+C=0
关于直线 y=-x 对称 （-y,-x）A(-y)+B(-x)+C=0
关于直线
关于直线
关于直线 对称 （ ）
关于直线 对称 （ ）
考点一：点关于点对称
实质：该点是两对称点连线段的中点 方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点
A
(
x0, y0
)
关于
P
(
a , b
)
对称点坐标为
(
2a−x0,2b−y0
)
1
平面内点
A
(
x1, y1
)
，
A'
(
x2, y2
)
关于点
P
(
x1+x2
2,y1+y2
2
)
对称
1.求点 A（2，4）关于点 B（3，5）对称的点 C的坐标.
1. B 是 线 段 AC 的 中 点 ， 设 点 C（x，y） ， 由 中 点 坐 标 公 式 有
， 解 得
{
x=4¿¿¿¿
， 故
C（4，6）
2.已知点 A(x,5)关于点 C(1，y)的对称点是 B(－2，－3)，则点 P(x，y)到原点的距离是________．
2. 解析　由题意知解得∴d＝＝．
考点二：点关于直线对称
实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的
坐标，
一般地：设点(x0,y0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点(x’,y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点 关于 的对称点为（ ， ）
1.求点 A(-1,3)关于直线 L：2x-y+3=0 的对称点 B的坐标.
1.设B坐标(a，b)，则线段 AB 中点坐标 ，则 ，
2
即B点坐标 。
2. 求点 A（1，3）关于直线 ：x+2y-3=0 的对称点 A′的坐标.
2.直线 l与直线 AA′垂直，并且平分线段 AA′，设 A′的坐标为（x，y），
则AA′的中点 B的坐标为
由题意可知，
{
1+x
2+2×3+y
2−3=0¿¿¿¿
，解得
{
x=−3
5¿¿¿¿
. 故所求点 A′的坐标为
3. 求A（4，0）关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是______.
3.设A(4，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0的对称点为 A′(x1，y1)
∴
{
5×4+x1
2+4×0+y1
2+21=0¿¿¿¿
解得：
{
a1q8+a1q9=a①¿¿ ¿¿
∴A′(－6，－8)
A(4∴，0)关于直线 5x＋4y＋21＝0的对称点为(－6，－8)
4.若直线 ： 和直线 关于直线 对称，那么直线 恒过定点 （ 1 ， 1 ）
4.直线 恒过定点（0，2），则（0，2）关于直线 的对称点必在直线 上
5.如图所示，已知两点 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，
最后经直线 OB 反射后又回到 P点，则光线所经过的路程是(　　)
3
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