2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

【学习目标】

课程标准学科素养

1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

2．掌握图象法解一元二次不等式．(重点)

3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．（难

点）

1、数学抽象

2、数学运算

【自主学习】

1.　一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是 2

的不等式，称为一元二次不

等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中 a，b，c均为常数

a≠0.

2．二次函数的零点

一般地，对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数 y＝

ax2＋bx＋c的零点．

注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与 x轴交点的横坐标．

(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c(a＞

0)的图象

ax2＋bx＋c＝0(a＞

0)的根

有两个不相等的实

根x1，x2，且 x1＜

有两个相等的实数

根x1，x2

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞

0)的解集

ax2＋bx＋c＜0(a＞

0)的解集

注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀

是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述

情况求解．

【小试牛刀】

1.不等式 x2－3x－10＜0的解集是___ _____.

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．(　　)

(2)若a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．(　　)

(3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两根为 x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的

解集为{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.(　　)

【经典例题】

题型一一元二次不等式的解法

注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.

(2)计算相应的判别式.

(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.

(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.

注意：解含参数的一元二次不等式的步骤

例1 解下列不等式：

(1)－x2＋7x>6；

(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；

(3)(2－x)(x＋3)<0．

例2 解关于 x的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)．

注意：先求出方程 x2－ax－2a2＝0的两根 x1＝2a，x2＝－a，再通过比较 2a与－a的大小写出

不等式的解集．

[跟踪训练] 1 解关于 x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.

题型二三个“二次”关系的应用

例3 已知关于 x的不等式 x2＋ax＋b<0 的解集为{x|1<x<2}，求关于 x的不等式 bx2＋ax＋1>0 的

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