【新教材精创】第十一章 立体几何初步 综合复习习题课 练习（2）（解析版）

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第十一章 立体几何初步 --综合复习习题课
一、选择题
1．已知两个平面相互垂直，下列命题
① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
② 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③ 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内
的任意一条直线，故①错误； 对于②，设平面 α∩平面 β=m，n⊂α，l⊂β，
∵平面 α⊥平面 β， ∴当 l⊥m时，必有 l⊥α，而 n⊂α， ∴l⊥n，
而在平面 β内与 l平行的直线有无数条，这些直线均与 n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个
平面内的无数条直线，即②正确；
对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；
对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是
面面垂直的性质定理，故④正确； 故选：B．
2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆
径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 ,求其直径 的一个近似公式 ,人们还用过一些类
似的近似公式,根据 判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由球体的体积公式得 ， ， ，
1
， ， ， 与 最为接近，故选 C.
3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(
　　
)
A.α内有无数条直线与 β平行 B.α内有两条相交直线与 β平行
C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】α内有无数直线与 β平行是 α∥β的必要不充分条件,A 不符合;
α内有两条相交直线与 β平行是 α∥β的充要条件,B 符合;
α,β平行同一条直线是 α∥β的必要不充分条件,C 不符合;
α,β垂直同一平面是 α∥β的必要不充分条件,D 不符合.
4．如图，在直角梯形 中， ，过点 作 交 于点 ，以 为
折痕把 折起，当几何体 的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（ ）
①
② ∥平面
③ 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角
④ 与 所成的角等于 与 所成的角
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当体积最大时，平面 SAD 平面 ABCD，如下图所示：
对①：若 又根据题意， ，故 平面 SDB，又 BD 平面 SDB
故可得 ，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；
对②：AB//CD，由 CD 平面 SCD，故 AB//平面 SCD，正确；
2
对③：因为无法得知底面 ABCD 的边长关系，所以无法确定，故错误；
对④：AB 与SC 所成角度为 ，而 DC 与SA 所成角度为 ，
两个角度显然不相等，故错误.综上所述，正确的只有②.故选：D.
5．（多选题）设 l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是(
　　
)
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【答案】ACD
【解析】A中α,β也可相交,A 不正确;由垂直同一直线的两平面平行知,B 正确;C 中,α,β垂直,不正确;D 中l与
β也可平行或 l⊂β,不正确.
6．（多选题）如图正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,以下结论正确的是(
　　
)
A.异面直线 A1D与AB1所成的角为 60° B.直线 A1D与BC1垂直
C.直线 A1D与BD1平行 D.三棱锥 A-A1CD 的体积为
1
6
a3
【答案】ABD
【解析】A1D与AB1所成角即 A1D与DC1成的角,再连接 A1C构成等边△A1DC1,即A正确;A1D与BC1成的角
即A1D与AD1成的角,由A1D⊥AD1即B正 确 ;由BD1⊥ 平 面 A1DC1,
∴
BD1⊥A1D,即C不正确;
V三棱锥 A-A1CD=V三棱锥 A1-ACD =1
3
a·
1
2
a2=
a3
6
,即D正确.
二、填空题
7．一个正方体内接于一个球（即正方体的 8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是
_______.
【答案】（1）（2）（3）
3
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