【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科） 极坐标与参数方程（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编（理科）
极坐标与参数方程（精解精析）
1．(2021 年高考全国甲卷理科)在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C的极坐标方程为 ．
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点 A
的
直角坐标为 ，M为C上的动点，点 P满足 ，写出 Р的轨迹 的参数
方程，并判断 C与 是否有公共点．
【答案】（1） ；（2）P的轨迹 的参数方程为 （ 为参
数），C与 没有公共点．
解析：（1）由曲线 C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线 C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
1
曲线 C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为 2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线 C与 没有公共点．
2．(2021 年高考全国乙卷理科)在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 1．
(1)写出 的一个参数方程;
(2)过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条
切线的极坐标方程．
【答案】（1） ，（ 为参数）；（2） 或
．
解析：（1）由题意， 的普通方程为 ，
所以
的
参数方程为 ，（ 为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线的距离等于 1可得 ，
解得 ，所以切线方程为 或 ，
将 ， 代入化简得
2
或
【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的
数学运算能力，是一道基础题．
3．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷理科)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
(1)当 时， 是什么曲线？
(2)当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1的圆；（2） ．
【解析】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1的圆；
（2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
3
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