【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 圆锥曲线大题（精解精析）
1．(2021 年高考全国甲卷理科)抛物线 C的顶点为坐标原点 O．焦点在 x轴上，直线 l： 交 C于P，Q
两点，且 ．已知点 ，且 与 l相切．
(1)求 C， 的方程；
(2)设 是 C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关
系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
解析：（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
1
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
2
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切．
【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题
转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用 的对称性，抽象出
与 关系，把 的关系转化为用 表示．
2．(2021 年高考全国乙卷理科)已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
(1)求 ；
(2)若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
解析：（1）抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
3
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