【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编数列大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编数列大题（精解精析）

1．(2021 年高考全国乙卷理科)记为数列的前 n项和，为数列的前 n项积，已知

．

(1)证明：数列是等差数列;

(2)求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

解析：（1）由已知得 ,且， ,

取,由得 ,

由于为数列的前 n项积，

所以 ,

所以，

所以 ,

由于

所以，即 ,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

当n=1时， ,

当n≥2时, ,显然对于 n=1不成立,

∴ ．

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前 n项和与项的关系，数列的前 n项积与项的关系，

其中由 ,得到，进而得到

是关键一步；要熟练掌握前 n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项

的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法．

2．(2021 年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前 n项和，从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

① 数列是等差数列：②数列是等差数列；③ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

解析：选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列．

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

因为，所以，解得或；

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