【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 立体几何大题（精解精析）

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编 立体几何大题（精解精析）
一、解答题
1．(2021 年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和
的
中点，D为棱 上的点．
(1)证明： ；
(2)当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）见解析；（2）
解析：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
1
所以 ，
．
由题设 （ ）．
（1）因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
2
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，
此时 ．
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出 （ ），在第二问中通
过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．
2．(2021 年高考全国乙卷理科)如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
(1)求 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】（1） ；（2）
解析：（1） 平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、
3
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