【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编计数原理（精解精析）

3.0 envi 2025-04-11 4 4 277.09KB 7 页 3知币

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2012-2021 十年全国高考数学真题分类汇编计数原理（精解精析）

一、选择题

1．(2021 年高考全国乙卷理科)将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4个项

目进行培训，每名志愿者只分配到 1个项目，每个项目至少分配 1名志愿者，则不同的分配方案共有

(　　)

A．60 种B．120 种C．240 种D．480 种

【答案】C

解析：根据题意，有一个项目中分配 2名志愿者，其余各项目中分配 1名志愿者，可以先从 5名志愿

者中任选 2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个

不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，

共有种不同的分配方案，

故选：C．

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选

后排思想求解．

2．(2020 年高考数学课标Ⅰ卷理科) 的展开式中 x3y3的系数为 (　　)

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，

属于中档题．

3．(2019 年高考数学课标Ⅲ卷理科) 的展开式中的系数为 (　　)

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】A

【解析】因为，所以的系数为，故选

A．

【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。

4．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）) 的展开式中的系数为 (　　)

A．B．C．D．

【答案】C

解析：展开式的通项公式为，令，解得，

故含的系数为，故选 C．

5．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科)

(1 )(1 )x

 

展开式中

的系数为 (　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】 C

【解析】因为

6 6 6

2 2

1 1

(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )x x x

x x

       

, 则

(1 )x

展开式中含

的项为

2 2 2

1 15C x x 

1(1 )x

x 

展开式中含

的项为

4 4 2

115C x x

x 

,故

前系数为

15 15 30 

,选

C．

【考点】二项式定理

【点评】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好

的项

共有几项,进行加和．这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项

式展开式中的

不同．

6．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科)

  

2x y x y 

的展开式中

3 3

x y

的系数为 (　　)

A．

80

B．

40

C．40 D．80

【答案】 C

【解析】

      

5 5 5

2 2 2x y x y x x y y x y     

由

 

2x y

展开式的通项公式:

   

1 5

r r

T C x y





 

可得:

当

3r

时,

 

2x x y

展开式中

3 3

x y

的系数为

 

3 2

2 1 40C    

当

2r

时,

 

2y x y

展开式中

3 3

x y

的系数为

 

2 3

2 1 80C   

则

3 3

x y

的系数为

80 40 40 

．

故选 C．

【考点】二项式展开式的通项公式

【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件

(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n和r的隐含条件,即 n,r均为

非负整数,且 n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解

的项．

(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

7．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排 3名志愿者完成 4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1人完

成，则不同的安排方式共有 (　　)

A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种

【答案】 D

【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力

为主．

【解析】解法一：分组分配之分人

首先分组

将三人分成两组，一组为三个人，有

6A

种可能，另外一组从三人在选调一人，有

3C

种可

能；

其次排序

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