浙江高考数学试题探源与变式专题05 三角函数与解三角形（解析版）

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专题五 三角函数与解三角形
【母题原题 1】【2019 浙江，14】
在
VABC
中，
90ABC  
，
4AB
，
3BC
，点
D
在线段
AC
上，若
，则
BD
____；
cos ABD 
________.
【答案】 (1).
12 2
5
(2).
7 2
10
【解析】
在
ABD
中，正弦定理有：
sin sin
AB BD
ADB BAC
 
，而
3
4, 4
AB ADB
 
,
2 2
AC AB BC 5  
，
3 4
sin ,cos
5 5
BC AB
BAC BAC
AC AC
   
，所以
12 2
5
BD
.
7 2
cos cos( ) cos cos sin sin
4 4 10
ABD BDC BAC BAC BAC
 
 
【母题原题 2】【2018 浙江，13】在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若
a=，b=2，A=60°，则 sin B=___________，c=___________．
【答案】 (1). (2). 3
【解析】
1
由正弦定理得 ,所以
由余弦定理得 （负值舍去）.
【母题原题 3】【2017 浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2.H点 D 为 AB 延长线上一点，
BD=2，连结 CD，则△BDC 的面积是___________,cos∠BDC=__________.
【答案】
15
2
10
4
【解析】取 BC 中点 E，由题意：
AE BC
，
△ABE 中，
1
cos 4
BE
ABC AB
 
，∴
1 1 15
cos , 1
4 16 4
DBC sin DBC   
，
∴
1 15
sin
2 2
BCD
S BD BC DBC 
．
∵
2ABC BDC  
，∴
2
1
cos cos2 2cos 1 4
ABC BDC BDC  
，
解得
10
cos 4
BDC 
或
10
cos 4
BDC  
（舍去）．
综上可得，△BCD 面积为
15
2
，
10
cos 4
BDC 
．
【母题原题 4】【2019 浙江，18】设函数
( ) sin ,f x x x R
.
（1）已知
[0, 2 ),
 
函数
( )f x
是偶函数，求
的值；
（2）求函数
2 2
[ ( )] [ ( )]
12 4
y f x f x
 
 
的值域.
【答案】（1）
3
,
2 2
；（2）
3 3
1 ,1
2 2
 
 
 
 
.
【解析】
(1)由题意结合函数的解析式可得：
   
sinf x x
 
 
，
2
函数为偶函数，则当
0x
时，
 
2
x k k Z
 
 
，即
 
2
k k Z
 
 
，结合
0, 2
 
可取
0,1k
，相应的
值为
3
,
2 2
.
(2)由函数的解析式可得：
2 2
sin sin
12 4
y x x
 
 
 
 
 
1 cos 2 1 cos 2
6 2
2 2
x x
 
   
   
   
   
 
1
1 cos 2 cos 2
226
x x
 
   
 
   
 
   
 
1 3 1
1 cos 2 sin 2 sin 2
2 2 2
x x x
 
 
 
 
 
1 3 3
1 cos 2 sin 2
2 2 2
x x
 
 
 
 
 
3
1 sin 2
2 6
x
 
 
 
 
.
据此可得函数
的
值域为：
3 3
1 ,1
2 2
 
 
 
 
.
【母题原题 5】【2018 浙江，18】已知角 α的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴
重合，它的终边过点 P（ ）．
（Ⅰ）求 sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角 β满足 sin（α+β）=，求 cosβ的值．
【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或
3
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