用等体积法解点到面的距离和体积立几题[原创]-人教版

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用等体积法解点到面的距离和体积立几题

立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例。解立体几何题

需要我们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起

感觉到很困难很麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩。纵观近年的高考,我们不难发现，

在立体几何的考试中，经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常

规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”

的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处。

（一）用等体积法求点到平面的距离

【2005 赣文（理）20】如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

点E在棱 AB 上移动．

(1) 证明：D1E⊥A1D　；

(2) 当E为AB 的中点时,求点 E到面 ACD1的距离；

(3) AE 等于何值时，二面角 D1－EC－D的大小为．

(1)，（3）略．

（２）解：设点Ｅ到平面ＡＣ D1的距离为 h，在 ΔＡＣ D1中，Ａ D1＝，

ＡＣ＝Ｃ D1＝，故＝＝，而＝＝． ∵

　 ∴ 　　∴h= ．

【04 年文（21）理（20）】如图，已知四棱锥 P—ABCD ，PB⊥AD，侧面 PAD 为边长等于 2的正三

角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。

（Ⅰ）求点 P到平面 ABCD 的距离；（Ⅱ）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。

（Ⅰ）解：取 AD 的中点 E，连结 PE，BE。

∵ΔPAD 为等边三角形 ∴PE⊥AD 又∵PB⊥AD

∴AD⊥平面 PBE ∴AD⊥BE ∴ ∠PEB 为平面 PAD

与平面 ABCD 所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。

设点 P到平面 ABCD 的距离为 h, ∵VP—ABE= VA—PBE

∴h= = =PE sin120°=

所以点 P到平面 ABCD 的距离为。（Ⅱ）略。

评：本题巧妙地借助二面角 PEB 所在平面与棱 AD 的垂直关系构造了三棱锥 P—AEB，从

而避免了直接作 P到平面 ABCD 的距离而求。

（二）用等体积法求锥体体积

【01 年春北京、安徽 19】如图，已知 VC 是ΔABC 所在平面的一条斜线,点N是V在平面

ABC 上的射影，且在 ΔABC 的高 CD 上。AB=a,VC 与AB 之间的距离为 h，点 M∈VC。

（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角 M—AB—C的平面角；

（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN 时，证明 VC⊥平面 AMB；

（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=θ（0＜θ＜），求四面体 MABC 的体积。

（Ⅰ）、（Ⅱ）略。

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