一轮复习大题专练42—立体几何（体积1）2022届高三数学一轮复习

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一轮复习大题专练 42—立体几何（体积 1）
1．如图，在直三棱柱 中， 是边长为 2的正三角形，点 ， 分别是棱
， 上的点，点 是线段 上一点， ．
（1）若 为中点，证明： 平面 ；
（2）若 ，求 ．
解：（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
则 且 ，
又因为 且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
从而 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）作 交 于 ，则 为 中点．
所以 平面 ，
因为 是边长为 2的正三角形，且 ．
所以 ．
则 ，
所以 ．
1
又因为 ，所以 ．
2．已知如图 1所示，等腰 中， ， ， 为 中点，现将
沿折痕 翻折至如图 2所示位置，使得 ， 、 分别为 、 的中
点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求四面体 的体积．
（1）证明：
、 分别为 、 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
2
（2）解：在原等腰三角形 中， ， ， 为 中点，
， ，且 ，
在折叠后的三棱锥中， ， ，
又 ， 平面 ，
， ， ，
，
为 中点， ，
可得 ．
3．如图，在四棱锥 中， ， ， 为棱 的中点， ，
．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ，试求三棱锥 的体积．
解：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
为 的中点， ， ，
又已知 ， ，
且 ，则四边形 为平行四边形，
，而 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（Ⅱ） ，取 中点 ，连接 ，则 ，
平面 平面 ，且平面 平面 ，
3
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