一轮大题专练17—导数（最值问题）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 17—导数（最值问题）
1．已知函数 ．
（1）求曲线 上一点 处的切线方程；
（2）当 时， 在区间 ， 的最大值记为 ，最小值记为 ，设
，求 的最小值．
解：（1）因为点 在曲线上，所以 ，解得 ，
所以 ，求导得 ，
切点为 ， ，
故切线斜率 ，
所求切线方程为 ．
（2）因为 ， ， ， ．
所以 ．令 ，得 或 ．
所以 ， ， 为减函数； ， ， 为增函数．
①当 时， 在 ， 上单调递减
所以依题意， ， ，
所以 ．
②当 时， 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
又因为 ， ， ，
当 时， ，所以 ， ，
当 时 ， ， 所 以 ，
．
1
设 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 单调递减．
又因为 ， ，
所以
所以，当且仅当 时， 取得最小值 ．
2．已知函数 ， ．
（1）证明： 有且仅有一个零点；
（2）当 ， 时，试判断函数 是否有最小值？若有，设最
小值为 （a），求 （a）的值域；若没有，请说明理由．
（1）证明：因为 ，
所以 时， ，函数 无零点；
又因为 ，
所以 ， 时， ， 单调递增，
又 （1） ， ， ，
即 （1） ，
故存在唯一 ，使 ，
综上可知，函数 有且仅有一个零点．
（2）解： ，
， ， ， ， 单调递增，
又 （1） ， ，
故存在唯一 ，使 ，即 ，
， ， 单调递减；
， ， ， 单调递增，
2
因此 有最小值，
（a） ，
令 ， ， ，
故 单调递减，
进而 ， （1） ， ，
即 （a）的值域为 ， ．
3．已知函数 ， ．
（1）设 ，求 的极值：
（2）若函数 有两个极值点 ， ．求 的最小值．
解：（1） ，定义域是 ，
，
令 ，解得： 或 ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 ， 递减，在 递增，
故 ， （1） ；
（2）函数 ， ， ，
， 是函数 的极值点， ， 是方程 的两不等正根，
则△ ， ， ，故 ， ，
即 ， ， ，且 ， ，
3
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