一轮大题专练16—导数（讨论函数单调性）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 16—导数（讨论函数单调性）
1．已知 ，其中 为实数．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性．
解：（1）若 ，则 ，
，
设曲线 在 处的切线方程的斜率为 ，
则 ，又 （1） ，
所以， 在 处的切线方程为： ，即 ；
（2） ，
①当 时， ， ， ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
同理可得，
②当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，在 上单调递增；
④当 时，在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增；
当 时，在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
2．已知函数 ，讨论 的单调性；
解： ，
设 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增；
设 ，由 得 或 ．
1
①若 ，则 ，所以 在 单调递增，
②若 ，则 ，
当 ， ， 时， ，
当 时， ，
所以 在 ， 单调递增，在 单调递减；
③若 ，则 ，
当 ， ， 时， ，
当 时， ，
所以 在 ， 单调递增，在 单调递减；
综上：当 ， 在 单调递减，在 上单调递增，
当 ， 在 ， 单调递增，在 单调递减，
当 ， 在 单调递增，
当 ， 在 ， 单调递增，在 单调递减．
3．已知函数 ， ．
（1）若函数 在 时取得极值，求 的值；
（2）讨论函数 的单调性．
解：（1） ，
，
在 处取得极值，
故 （1） ，解得： ，
时， ，
，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，在 递增，
故 是函数的极大值点， 符合题意；
（2）由（1）得 ，
2
令 ，则 或 ，
①时， ，
此时 在 上单调递增，
②时， ，
当 时， ，
当 ， ， 时， ，
故 在 递减，在 ， 递增，
③时， ，
此时当 时， ，
当 ， 时， ，
在 递减，在 ， 递增，
综上： 时， 在 递增，在 递减，在 递增，
时， 在 上单调递增，
时， 在 递增，在 递减，在 递增．
4．已知函数 ．
（1）当 时，求 在 ， 的最大值 为自然对数的底数， ；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若 且 ，求实数 的取值范围．
解：（1）当 时， ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
故当 时，函数 取得唯一的极大值，即最大值 ，
所以 在 ， 的最大值为 ；
（2）函数 的定义域为 ，
3
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