一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 16—导数（数列不等式的证明 2）

1．已知函数．

（1）若在上恒成立，求实数的取值范围．

（2）证明：，．

解：（1），等价于，

令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故（e），

故实数的取值范围是，．

（2）证明：由（1）可知在上恒成立，

则，即，当且仅当时“ ”成立，

取，2，3，，则，，，，，

将上述不等式相乘可得，

即，故．

2．已知函数．

（1）若，求实数的值；

（2）求证：．

解：（1），则．

①当时，，在上单调递增，

（1），当时，（1），不符合题意，舍去；

②当时，，由得，，由得，，

在上单调递增，在上单调递减，

（1），当时，（1），不符合题意，舍去；

③当时，，由得，；由得，，

在上单调递增，在上单调递减，

又（1），成立；

④当时，，由得，，由得，，

在上单调递增，在上单调递减，

（1），当时，（1），不符合题意，舍去；

综上得，．

（2）证明：由（1）知，当时，在上成立，即，

令，则，

，

即，

．

3．设．

（1）当时，求证：；

（2）证明：对一切正整数，都有．

证明：（1），

，，单调递增，

时，，在递增，

；

（2）时，，，

，令，，2，3，，

，

故原命题成立．

4．已知函数．

（1）证明：时，；

（2）证明：时，．

证明：（1）设，

则，

故函数为减函数，

可得，即，

故为减函数，

所以．

（2）由（1）知：时，，

可得（1），

所以，

因为时，，

所以，

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