一轮大题专练15—导数（数列不等式的证明1）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 15—导数（数列不等式的证明 1）
1．已知函数 ．
（1）若 ， ，证明： 在区间 内存在唯一零点；
（2）若 ， ，
（Ⅰ）证明： 时， ；
（Ⅱ）证明： （其中 ，且 ．
证明：（1）若 ， ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
在区间 内存在唯一零点；
（2）若 ， ，则 ，
（Ⅰ） ，
令 ，易知 在 上单调递增，
，即 ，
在 上单调递减，
，即得证；
（Ⅱ）当 ， 时， ，
又 ，故 ，则 ，
由（Ⅰ）知， 时， ，
令 ， ，
1
， ，
以上各式相加得，
，
即 ，即 ，即得证．
2．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）求证： ．
解：（1）函数 ， （1） ，
， （1） ，
曲线 在 处的切线方程为： ，
；
（2）证明：令 ， ，
则 ，
，
函数 在 单调递增，
（1） ，
函数 在 单调递增，
（1） ．
当 时： ，
令 ，则化为： ，
， ， ， ， ，
， ， ，
．
2
3．设函数 ．
（1）若
1a
，求
( )f x
的极值；
（2）讨论函数
( )f x
的单调性；
（3）若
*n N
，证明：
2 2 2 2
1 2 3 ( 1)
2 3 4 ( 1)
nln n
n
 
．
解：（1）
( )f x
的定义域是
(0, )
，
当
时，
1 (2 1)( 1)
( ) 2 1 x x
f x x x x
 
 
，
令
( ) 0f x 
，解得：
1x
，令
( ) 0f x 
，解得：
0 1x 
，
( )f x
在
递减，在
(1, )
递增，
( )f x f 
极小值
（1）
0
，无极大值．
（2）
(2 )( 1)
( ) 2 ( 2) ( 0)
a x a x
f x x a x
x x
 
 
，
①当
0a…
时，若
( ) 0f x 
，则
，若
( ) 0f x 
，则
0 1x 
，
( )f x
在
递减，在
(1, )
递增；
②当
0 1
2
a
 
即
2 0a 
时，
若
( ) 0f x 
，则
02
a
x  
或
，若
( ) 0f x 
，则
1
2
ax  
，
( )f x
在
(2
a
，
1)
递减，在
(0, )
2
a
，
(1, )
递增；
③当
1
2
a
 
，即
2a 
时，
( ) 0f x…
恒成立，
( )f x
在
(0, )
上单调递增；
④当
1
2
a
 
即
2a 
时，
若
( ) 0f x 
，则
0 1x 
或
2
a
x 
，若
( ) 0f x 
，则
12
a
x  
，
( )f x
在
(1, )
2
a
递减，在
，
(2
a
，
)
递增，
综上：当
2a 
时，
( )f x
在
递增，在
(1, )
2
a
递减，在
(2
a
，
)
递增，
当
2a 
时，
( )f x
在
(0, )
递增，
3
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