一轮大题专练14—导数（任意、存在性问题2）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 14—导数（任意、存在性问题 2）
1．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 ， 时，求证： ．
解：（1） 的定义域为 ， ，
①当 时， ，即 在 上单调递减；
②当 时， ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
即 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）证明： ，即 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 即 在 上单调递增，
又 ，
①当 时， ，则 恒成立，即 在 上单调递增，
则有 ；
②当 时， ，
，则 ，
即存在 使得 ，即 ，
1
且 ，
即 ，
综上所述， 恒成立，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ．
2．设 ，已知函数 ，函数 ．
（Ⅰ）若 ，求函数 的最小值；
（Ⅱ）若对任意实数 和正数 ，均有 ，求 的取值范围．
（注 为自然对数的底数）
解：（Ⅰ）当 时， 为增函数，且 ，
所以 在 递减，在 递增，
所以 ．
（Ⅱ）因为 ，
由于函数 在 上单增，且 ， （1） ，
所以存在唯一的 使得 ．且 ．
再令 ， ，可知 在 单增，
而由 可知 ， ， ，所以 ．
于是 ，所以 ．
又 为增函数，
当 时， ，当 时， ；
又当 时， ，当 时， （3） ，
2
所以对任意 ，存在唯一实数 ，使得 ，即 ，且
．
由题意，即使得 ，
也即 ，即 ，
又由于 单增且 ，
所以 的值范围为 ， ，代入 ，求得 的取值范围为 ， ．
3．已知函数 在 处取得极值， ．
（1）求 的值与 的单调区间；
（2） 设 ， 已 知 函 数 ， 若 对 于 任 意 、 ， ， 都 有
，求实数 的取值范围．
解：（1）由题意得 的定义域为 ， ，
函数 在 处取得极值，
（2） ，解得 ，
则由 得 或 ，
、 、 的关系如下表：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ；
（2）由（1）得函数 ，
3
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