一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1）-2022届高三数学一轮复习

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一轮大题专练 13—导数（任意、存在性问题 1）
1．已知 是自然对数的底数， ， ．
（1）当 时，求证： 在 上单调递增；
（2）是否存在实数 ，对任何 ，都有 ？若存在，求出 的所有值；若不
存在，请说明理由．
解：（1）证明： ，
分
， ，
，
当 时， 在 上单调递增；
（2）解：由（1）知，当 时， 在 上单调递增，
此时， ，由于 ， ，
，与题意不符； 分
当 时，设 ，则 在 上单调递增，
根据函数 与 的性质得 与 的图象在第一象限有唯一的交点，设交点
的横坐标为 ，
则 ，即 ，
，即 ，
，
当 时， ，故 ，所以 在 上是减函数；
当 时， ， ，所以 在 ， 上是增函数，
1
当 时， 取得最小值，且 的最小值为 ，
对 ，都有 ， 分
设 （a） ，则 （a） ，
当 时， （a） ，所以 （a）在 上是增函数；
当 时， （a） ，所以 （a）在 上是减函数；
当 时， （a）取得最大值，且 （a）的最大值为 （1） ；
当 时， （a） ，即 ，且“ ”成立 ，
由 得 ，
，
综上所述，存在唯一的实数 ，且 ， ，都有 ． 分
2．设函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证：对于任意 ，存在实数 ，当 时， 恒成立．
解：（1） ， ，
①当 时， 恒成立，所以 在 上为减函数；
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ；
由 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数；
（2）由 得， ，即不等式 ， 恒成立，
记 ，则 ，由 得， ；
由 得， ；由 得， ．
所以 在 为增函数，在 上为减函数，
2
所以 ，所以 ；
（3）证明：由（1）知，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数．
①当 ，即 时，因为 在 上为增函数，
又 （1） ，所以，当 时， ，此时取 ；
②当 ，即 时，
因为 ，
所以 ， ，
令 ， ，则上式 ，
记 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，
所以 （1） ，即 ，
因为 在 上为增函数，且 ，
所以当 时， ，此时取 ．
综上，对于任意 ，存在实数 ，当 时， 恒成立．
3．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若存在实数 ，使得 恒成立的 值有且只有一个，求 的值．
解：（1） ， 的定义域是 ，
，
当 时， ， 在 上单调递增，
3
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